2014届高考数学一轮必备考情分析学案：12.5《二项分布及其应用》

Gothedistance12.5二项分布及其应用考情分析本节内容主要以解答题的形式与分布列、期望等结合，考查条件概率、相互独立事件的概率，n次独立重复试验及二项分布基础知识1、条件概率：（1）定义：对于任何两个事件A和B，在已知A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号(/)PBA来表示，其公式为()(/)()PABPBAPA（2）条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1PBA；（2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则(/)(/)(/)PBCAPBAPCA2、相互独立事件（1）定义：对于事件A和B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A,B为相互独立事件（2）相互独立事件的概率性质：①若A与B相互独立，则(/)(),()(/)()()()PBAPBPABPBAPAPAPB②如果事件12,,,nAAA相互独立，则这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA③若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立3、独立重复试验与二项分布：①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验②二项分布：一般的，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1)(0,1,2)kknknpxkCppkn，此时称随机变量X服从二项分布，记作(,)XBnp，并称p为成功概率。注意事项1.可先定义条件概率P(B|A)＝PABPA，当P(B|A)＝P(B)即P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B与事件A独立．但是要注意事件A、B、C两两独立，但事件A、B、C不一定相互独立．2.计算条件概率有两种方法．Gothedistance(1)利用定义P(B|A)＝PABPA；(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝nABnA.题型一条件概率【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()．A.18B.14C.25D.12解析P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(A∩B)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝PA∩BPA＝110410＝14.答案B【变式1】如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.解析圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.答案2π14[来源:Z.xx.k.Com]Gothedistance题型二独立事件的概率【例2】某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(2)由a100＝0.2得a＝20，∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.记分期付款的期数为ξ，依题意得：P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝20100＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4；P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.∴η的分布列为：η11.52P0.40.40.2∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．要判断事件的性质Gothedistance(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DEF，DEF，DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.题型三独立重复试验与二项分布【例3】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量Gothedistance(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区低碳族非低碳族比例P1212B小区低碳族非低碳族比例P4515(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E(ξ)．解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A，P(A)＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100.(2)设A小区有a人，2周后非低碳族的概率P＝a×12×1－152a＝825，2周后低碳族的概率P＝1－825＝1725，依题意ξ～B(25，1725)，所以E(ξ)＝25×1725＝17.【变式3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．Gothedistance(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．解(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)，P(X＝k)＝Ck30.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，∴X的分布列是X[来源:Z,xx,k.Com]01[来源:学科网]23P0.0010.0270.2430.729重难点突破【例4】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解析设“5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中至少有2次准确”为事件B，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C.(1)P(A)＝C254521－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)P(B)＝1－C054501－455－C15×451－454≈0.99.(3)P(C)＝C14×451－453×45≈0.02.巩固提高Gothedistance1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920解析：由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝118.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝209.答案：C2．设X为随机变量，X～Bn，13，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.80243解析：∵X～Bn，13，∴E(X)＝n3＝2.∴n＝6.∴P(X＝2)＝C26132234＝80243.[来源:Zxxk.Com]答案：D3．已知随机变量X～B(6，22)，则P(－2≤X≤5.5)＝()A.78B.18C.6364D.3132解析：依题意，P(－2≤X≤5.5)＝P(X＝0,1,2,3,4,5)＝1－P(X＝6)＝1－C66×(22)6＝78.答案：A[来源:学,科,网]4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧．其中a，b，cGothedistance∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X＝|a－b|的取值，则X的数学期望E(X)＝()A.89B.35C.25D.13解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2C13C13C17＝126条，X的可能取值有0,1,2.P(X＝0)＝6×7126＝13，P(X＝1)＝8×7126＝49，P(X＝2)＝4×7126＝29，E(X)＝89.答案：A5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16解析：依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥26ab，即26ab≤1，∴ab≤124.当且仅当3a＝2b即a＝25，b＝35时等式成立．答案：B