【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-6正态分布课时作业-北师大版选修2-3

1【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章6正态分布课时作业北师大版选修2-3一、选择题1．设随机变量Z服从正态分布Z～N(0,1)，且Z在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1、p2，则()A．p1p2B．p1p2C．p1＝p2D．不确定[答案]C[解析]因为这是一个标准正态分布，标准正态曲线关于y轴对称，所以p1＝p2.2．设随机变量ξ服从正态分布ξ～N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，则c＝()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]由正态分布的性质及条件P(ξc＋1)＝P(ξc－1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，∴c＝2.3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585[答案]B[解析]P(X4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.6826)＝0.1587.4．已知ξ～N(2，σ2)，P(ξ4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84[答案]A[解析]因为ξ～N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ4)＝1－0.84＝0.16，故选A.5．(2015·湖北理，4)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()2A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[答案]D[解析]由正态分布的对称性及意义可知选D.二、填空题6．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，则P(2X≤3)＝________.[答案]0.34[解析]如图可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，所以P(2X4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2X≤3)＝12P(2X4)＝12×0.68＝0.34.7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ0)．若X在(0,2)内取值的概率为0.8，则X在(1,2)内取值的概率为________．[答案]0.4[解析]由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x＝1对称，从而X在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示．8．若某一正态分布的均值和方差分别是2和3，则这一正态密度曲线的函数表达式为________．3[答案]f(x)＝16πe－x－26[解析]由已知可得，μ＝2，σ2＝3，将它们代入f(x)＝12πσe－x－μ22σ2，便得所求函数表达式为f(x)＝16πe－x－26三、解答题9．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.)[解析]由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50P(700X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800X≤900)＝12＋12P(700X≤900)＝0.9772.10.某糖厂用自动打包机打包，每包质量X(单位：kg)服从正态分布N(100，1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．[解析]因为X～N(100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.(1)由于随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2,100＋1.2)范围内的糖包数量为1500×0.683≈1025包．(2)由于随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的概率为0.997.所以估计质量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1500×0.997≈1496包.一、选择题1．设随机变量ξ服从标准正态分布ξ～N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|1.96)＝()4A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975[答案]C[解析]P(|ξ|1.96)＝P(－1.96ξ1.96)＝P(ξ1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.2.(2015·湖南理，7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386B．2718C．3413D．4772[答案]C[解析]根据正态分布的性质，P(0x1)＝12P(－1x1)＝0.3413，故落入阴影部分的点的个数为10000×0.3413＝3413，故选C.3．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ2)等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4[答案]A[解析]P(ξ2)＋P(0≤ξ≤2)＋P(－2≤ξ≤0)＋P(ξ－2)＝1，P(ξ2)＝P(ξ－2)，P(0≤ξ≤2)＝p(－2≤ξ≤0)，所以P(ξ2)＝12×[1－2P(－2≤ξ≤0)]＝0.1.4．某地区数学考试的成绩X服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图像如图所示，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为()A．0.954B．0.997C．0.683D．不确定[答案]C[解析]观察图中正态分布密度函数图像可知，对称轴为x＝60，由正态分布密度函数5图像的性质可知μ＝60.又σ2＝64，所以X服从正态分布N(60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为P(μ－σXμ＋σ)＝0.683.二、填空题5．如图所示为两条正态分布曲线．①为fμ1，σ1(x)的图像；②为fμ2，σ2(x)的图像．μ1________μ2，σ1________σ2(填“”、“”或“＝”)．[答案][解析]根据图像关于直线x＝μ对称可知μ1μ2，又由σ(σ0)的大小决定图像的“胖瘦”，σ越小，图像越“高瘦”，可知σ1σ2.6．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y，已知Y～N(1000,302)，要使灯管的平均寿命在1000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在________小时．[答案]910[解析]因为P(μ－3σYμ＋3σ)＝99.7%，又Y～N(1000,302)，所以Y在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．三、解答题7.设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1ξ≤3)；(2)P(3ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解析]∵ξ～N(1,22)知，μ＝1，σ＝2.(1)P(－1ξ≤3)＝P(1－2ξ≤1＋2)＝P(μ－σξ≤μ＋σ)＝0.683.(2)∵P(3ξ≤5)＝P(－3ξ≤－1)，∴P(3ξ≤5)＝12[P(－3ξ≤5)－P(－1ξ≤3)]＝12[P(1－4ξ≤1＋4)－P(1－2ξ≤1＋2)]＝12[P(μ－2σξμ＋2σ)－P(μ－σξμ＋σ)]6＝12[0.954－0.683]＝0.1355.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，∴P(ξ≥5)＝12[1－P(－3ξ≤5)]＝12[1－P(1－4ξ≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σξ≤μ＋2σ)]＝12(1－0.954)＝0.023.8．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二知路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N(60,42)．问：如果有65min时间可以利用，应走哪一条路线？[解析]设ξ为行走的时间，如有65min时间可利用，则：(1)若走第一条路线，ξ～N(50,102)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.9332；(2)若走第二条路线，ξ～N(60,42)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.8944.显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线．[反思总结]利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率，进而可使实际问题得到顺利地解决．