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学科知识供应商开卷速查(六十七)离散型随机变量及其分布列A级基础巩固练1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]。由此得到样本的频率分布直方图，如图所示。(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列。解析：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12。(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故P(Y＝0)＝C012C228C240＝63130，P(Y＝1)＝C112C128C240＝2865，P(Y＝2)＝C212C028C240＝11130。所以Y的分布列为学科知识供应商Y012P631302865111302.[2016·张掖一诊]近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标，PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示。(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)在所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望。解析：(1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，则P(A)＝2＋410＝35。(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，则P(B)＝C12·C14C26＝815。(3)ξ的可能值为0,1,2,3，学科知识供应商P(ξ＝0)＝C36C310＝16，P(ξ＝1)＝C26·C14C310＝12，P(ξ＝2)＝C16·C24C310＝310，P(ξ＝3)＝C34C310＝130。其分布列为：ξ0123P1612310130E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65。B级能力提升练3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可判断2个选项是错误的，有1道题可以判断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜。请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数X的分布列。解析：(1)设“选对可判断2个选项是错误的2道题之一”为事件A，“选对可判断1个选项是错误的1道题”为事件B，“选对不理解题意的1道题”为事件C。则P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14，所以得60分的概率P＝12×12×13×14＝148。(2)依题意得，所得分数X可能的取值为40,45,50,55,60。学科知识供应商P(X＝40)＝12×12×23×34＝18；P(X＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(X＝50)＝12×12×23×34＋C12×12×12×13×34＋C12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(X＝55)＝C12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(X＝60)＝12×12×13×14＝148。所以所得分数X的分布列为：X4045505560P18174817487481484.2014年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立65周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35。(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列。解析：(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x名，1≤x6，那么P(A)＝1－C26－xC26＝35，解得x＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名。记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为学科知识供应商事件B，则P(B)＝C12C14C26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815。(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝2，于是P(ξ＝k)＝Ck2C2－k4C26，k＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝C02C24C26＝25，P(ξ＝1)＝C12C14C26＝815，P(ξ＝2)＝C22C04C26＝115。所以ξ的分布列为ξ012P25815115