(完整版)圆周运动中临界问题

第1页共7页圆周运动中的临界问题教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征教学内容一、有关概念1、向心加速度的概念2、向心力的意义（由一个力或几个力提供的效果力）二、内容1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：vR绳vvR0O图4－2－2图4－2－3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mRv2v临界=Rg；②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力；③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.（2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：①当v=0时，FN=mg（FN为支持力）；②当0＜v＜Rg时，FN随v增大而减小，且mg＞FN＞0，FN为支持力；③当v=Rg时，FN=0；④当v＞Rg时，FN为拉力，FN随v的增大而增大.vvOR杆图4－2－4图4－2－5若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v≥Rg，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例1长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1＝1m／s时②当A的速率v2＝4m／s时解析：V0=gL＝10×0.5m／s＝5m／s小球的速度大于5m／s时受拉力，小于5m／s时受压力。解法一：①当v1＝1m／s＜5m／s时，小球受向下的重力mg和向上的支持力NbOa图4ALOm第2页共7页由牛顿第二定律mg－N＝mv2LN＝mg－mv2L＝16N即杆受小球的压力16N。②当v2＝4m／s＞5m／s时，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，由牛顿第二定律mg＋F＝mv2LF＝mv2L－mg＝44N即杆受小球的拉力44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。由牛顿第二定律mg＋F＝mv2L得F＝m（v2L－g）当v1＝1m／s时，F1＝－16NF1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当v2＝4m／s时，F2＝44N。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例2如图4所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，有一长l＝0.4m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为m＝0.2kg的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：(1)小球通过最高点A时最小速度；(2)如细绳受到9.8N的拉力就会断裂，求小球通过最低点B时的最大速度.2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例3如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。⑴当v＝16gL时，求绳对物体的拉力；⑵当v＝32gL时，求绳对物体的拉力。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为0，则有)2(30sin3020分lmmgtcm解得gl630（1）当)2(03.16331)2(30sin30cos)2(30sin30cos30sin,6120分解得分分有时mgmgTmgNTlmNTgl（2）当023gl时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则mgFmgNTθ图9Nmg第3页共7页)2(2)2(30sinsin)2(cos2分解得分分mgTlmTmgT例4如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当ω逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：TACcos30°＝mgTACsin30°＝mω12Lsin30°将已知条件代入上式解得ω1＝2.4rad／s②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45°＝mgTBCsin45°＝mω22Lsin30°将已知条件代入上式解得ω2＝3.16rad／s所以当ω满足2.4rad／s≤ω≤3.16rad／s，AC、BC两绳始终张紧。本题所给条件ω＝3rad／s，此时两绳拉力TAC、TBC都存在。TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30°TACcos30°＋TBCcos45°＝mg将数据代入上面两式解得TAC＝0.27N，TBC＝1.09N注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果ω＜2.4rad／s时，TBC＝0，AC与轴的夹角小于30°。如果ω＞3.16rad／s时，TAC＝0，BC与轴的夹角大于45°。例5如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）[先以m＝0为题引入，由浅入深]解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此时，对M运用牛顿第二定律。有T－fm＝Mω12r且T＝mg解得ω1＝2.9rad／s当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。再对M运用牛顿第二定律有T＋fm＝Mω22r解得ω2＝6.5rad／s所以，题中所求ω的范围是：2.9rad／s＜ω＜6.5rad／s例6如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。求：⑴当转盘角速度ω1＝μg2r时，细绳的拉力T1。30°45°ABC图6Mrom图7roω图8第4页共7页⑵当转盘角速度ω2＝3μg2r时，细绳的拉力T2。解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。（1）因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿的第二定律得：，解得。3、连接体的临界问题例1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm，RB=30cm。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?答案：(1)当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mrBω02解得：B0r/kg=3.7rad/s(2)当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为FT则，对A：FfAm-FT=mrAω2对B：FfBm+FT=mrBω2又：FfAm=FfBm=kmg解得ω=4rad/s。(3)烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案：(1)3.7rad/s(2)4rad/s(3)A做圆周运动，B做离心运动分析：1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。三、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m／s时，车对桥的压力为车重的34。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A、15m／sB、20m／sC、25m／sD、30m／s2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心第5页共7页，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB间绳子开始受到拉力。由，得：（2）达到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为，绳中张力为，对A、B受力分析：对A有对B有联立解得：3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。（97年高考题）4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC]A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】A．两物体均沿切线方向滑动B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=gR，物体甲将A．沿球面下滑至M点B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动第6页共7页C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为3kg的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。8、如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两物体A和B，它们与盘