直线的方程知识点及题型归纳总结

直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线ykxb中k的系数k（kR）叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，其斜率不存在。x轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角0,，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k表示，即tank。当0k时，直线平行于轴或与轴重合；当0k时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当0k时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；二、基本公式1.111222(,),(,)PxyPxy两点间的距离公式22121212||()()PPxxyy2.111222(,),(,)PxyPxy的直线斜率公式121212tan(,)2yykxxxx3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k存在且过00(,)xy，00()yykxx注：①当0k时，0yy；②当k不存在时，0xx（2）斜截式：直线的斜率k存在且过(0,)b，ykxb（3）两点式：112121yyxxyyxx，不能表示垂直于坐标轴的直线。注：211121()()()()xxyyxxyy可表示经过两点1122(,),(,)PxyQxy的所有直线（4）截距式：1xyab不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。（5）一般式：220(0)AxByCAB，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)nAB是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1倾斜角与斜率的计算思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212yykxx，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,xxyy时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan(90)k，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。这可通过画正切函数在0,,22上的图像来认识。例9.1若三点(2,2),(,0),(0,)ABaCb(0)ab共线，则11ab___________.分析由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。解析解法一：由题设可知ABACkk，即022202ba，(2)(2)4,2()ababab1112ababab解法二：由题设可知//ABAC，即(2,2)//(2.2)ab，即(2)(2)4ab。2()abab，1112ababab解法三：由题设可知点(2,2)A在直线BC上，又由截距式方程得直线BC方程：1xyab，故221111,2abab。评注关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。变式1若直线l先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线l重合，则直线l的斜率为__________.变式2已知过2(2,1),(1,)ABm两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是___________.例9.2已知(0,0),(1,1),(1,1),(1,1)OABC，P点为一动点。（1）当P点在线段AB上运动时，求直线OP倾斜角的范围（2）当P点在线段AC上运动时，求直线OP的斜率的范围。解析（1）当P点在线段AB上运动时，求直线OP斜率为1,1，可得倾斜角的范围为30,,44。（2）当P点在线段AC上运动时，倾斜角范围为3,44，可得斜率为直线OP的斜率的范围.11,评注当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括90时，斜率分两段，可用正切函数0,,22上的图像求解。变式1若直线12,ll的倾斜角分别为12,，则下列四个命题正确的是（）A.若12，则两直线的斜率12kkB.若12，则两直线的斜率12kkC.若12kk，则两直线的斜率12D.若12kk，则两直线的斜率12变式2若直线l的斜率k的变化范围是1,3，则其倾斜角的变化范围是（）A.,()43kkkZB.,43C.3,34D.30,,34变式3直线l经过2(2,1),(1,)ABm两点（mR），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A.0,B.0,,42C.0,4D.0,,42例9.3已知直线l过(1,2)P，且与以(2,3),(3,0)AB为端点的线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围。分析本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。①做出直线区域图；②求出区域边界斜率12,kk；③按逆时针方向旋转得到12kk；④若12kk，直接写出12[,]kkk（或开区间），若12kk过无穷，12(,],kkk。解析解法一：如图所示，15,2PAPBkk。因为过点(1,2)P且与x轴垂直的直线PC与线段AB相交，但此时直线l斜率不存在，直线PA绕点P逆时针旋转到PC时，l斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l斜率的范围是5,；直线l由PC（不包括PC）逆时针旋转至PB时，l斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是1,2。故所求直线的斜率的取值范围是1,5,2。解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当lx轴时，与线段AB相交，此时斜率不存在。当斜率k存在时，设直线l的方程为(1)2ykx，即20kxyk，要使l与线段AB有交点，只需,AB落在直线l的两侧或直线上，则应满足[(2)(3)2](32)0kkkk，得12k或5k，故所求直线l的斜率k的取值范围是1,5,2。评注本题主要用了数形结合的方法。另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。变式1已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)，若直线:0lxmym与线段PQ有交点，求实数m的范围。变式2已知实数,xy满足222(11)yxxx，试求32yx的最大值与最小值。，题型2直线的方程思路提示要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。例9.4求下列直线方程：（1）直线`1l：过点(2,1)，斜率2k；（2）直线`2l：过点(2,1)和点(3,3)；（3）直线`3l：过点(0,1)，斜率12。分析已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。解析（1）由直线的点斜式方程得12(2)yx，整理得`1l的方程为250xy。（2）解法一：由直线的两点式方程得1(2)313(2)yx，整理得`2l的方程为4530xy。解法二：直线`2l的方程求解也可用点斜式，先算出314325k，再代入点斜式得41(2)5yx，即4530xy（3）由直线的点斜式方程得112yx，整理得`3l的方程为220xy评注已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为0xx。变式1求满足下列条件的直线方程：（1）斜率2k，在y轴上的截距是5；（2）斜率3k，在x轴上的截距是1；；（3）在x轴,y轴上的截距是2，-5。变式2直线`1l：310xy，直线`2l过点(1,0)，且它的倾斜角是`1l的倾斜角的2倍，则`2l的方程为__________.例9.5已知两直线`111:70laxby，`2l22:70axby都经过点(3,5)，则经过点112212(,),(,)()ababaa的直线方程是____________.解析解法一：由题设可知所求直线斜率为2121bbkaa，且112235703570abab，作差得12123()5()0aabb，则350k，35k。故所求直线为：113()5ybxa，即1135(35)0xyab，即3570xy。解法二：由两直线`111:70laxby，`2l22:70axby都经过点(3,5),得112235703570abab，两点112212(,),(,)()ababaa都适合方程3570xy，又过这两点的直线是唯一的。故经过点112212(,),(,)()ababaa的直线方程是3570xy评注若两点1122(,),(,)AxyBxy同时满足方程：220()AxByCAB，即0(1,2)iiAxByCi，则过,AB两点的直线方程为ABl：0AxByC变式1如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的顶点为(0,),(,0),(,0)AaBbCc。点(0,)Pp为线段AO上的一点（异于端点），这里,,,abcp为非零常数。设直线,BPCP分别与边,ACAB交于点,EF。某同学已正确求得直线OE的方程为1111()()0xybcpa，请完成直线OF的方程：11(_________)()0xypa.例9.6过点(2,1)P，在x轴和y轴上的截距分别是,ab，且满足3ab的直线方程为__________.分析过点(2,1)P，在x轴和y轴上的截距分别是,ab，注意分类讨论,ab为0的情形。解析若0ab，此时直线过原点，设直线方程为ykx且过点(2,1)P，则直线方程为；12yx；若30ab，则设直线方程为1xyab。又3ab，故13xybb，又过点(2,1)P，则2113bb，得13b，故直线方程为310xy，故所求的直线方程为20xy或310xy。评注本题常见的求解错误是忽视截距为零的情况，一般地，条件给出的两个截距（或截距的绝对值）成倍数关系时，若设直线的截距式应注意截距为零，及直线过原点的情形。变式1直线l经过点(3,2)，在在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。变式2直线l经过点(2,1)P，且在y轴上的截距是在x轴截距的2倍，求直线l的方程。例9.7直线l经过点(5,4)P，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程。解析解法一：依题意，设直线l的方程为1xyab，因为直线l经过点(5,4)P，所以541ab，即45abab，由已知1||||52ab，得||||10ab，解方程组45||||10ababab，得524ab或52ab，故所求的直线l方程为1542xy或152xy85200xy或25100xy。解法二：依题意，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为4(5)ykx，令0x，得54yk，令0y，得45xk。直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14|5||54|52kk，得25k或85k。故所求的直线l方程为24(5)5yx或84(5)5yx即85200xy或25100xy。变式1过点(2,1)P分别与,xy轴正半轴交于,AB两点。（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程;（2）当||||OAOB取最小值时，求直线l的