多元复合函数的求导法则

2012年3月10日星期六1返回上页下页目录第四节多元复合函数的微分法第七章(DerivationRuleofMultivariateCompositeFunctions)一、多元复合函数的求导法则二、全微分的形式不变性三、小结与思考练习2012年3月10日星期六2返回上页下页目录复习引入一元复合函数)(),(xuufyϕ==求导法则xuuyxydddddd⋅=xxufuufyd)()(d)(dϕ′′=′=微分法则多元复合函数的求导法则和微分法则推广2012年3月10日星期六3返回上页下页目录))(),((ttfzψϕ=一、多元复合函数的求导法则定理若函数,)(,)(可导在点ttvtuψϕ==),(vufz=处偏导连续,),(vu在点在点t可导,tvvztuuztzdddddd⋅∂∂+⋅∂∂=z则复合函数证:设t取增量△t,vvzuuzzΔ∂∂+Δ∂∂=Δ))()((22vuΔ+Δ=ρ)(ρo+则相应中间变量且有链式法则vutt有增量△u,△v,2012年3月10日星期六4返回上页下页目录,0→Δt令,0,0→Δ→Δvu则有toΔ)(ρ(全导数公式)tvvztuuztzΔΔ∂∂+ΔΔ∂∂=ΔΔtoΔ+)(ρzvutt))()((22vuΔ+Δ=ρ)(ρρo=)()(22tvtuΔΔ+ΔΔ0→(△t＜0时,根式前加“–”号)tvtvtutudd,dd→ΔΔ→ΔΔtvvztuuztzdddddd⋅∂∂+⋅∂∂=2012年3月10日星期六5返回上页下页目录若定理中(,)fuv例如:==),(vufztvtu==,易知:,0)0,0()0,0(==∂∂ufuz但复合函数),(ttfz=21dd=tz≠tvvztuuzdddd⋅∂∂+⋅∂∂01010=⋅+⋅=0)0,0()0,0(==∂∂vfvz偏导数连续减弱为偏导数存在,2t=0,22222≠++vuvuvu,0022=+vu则定理结论不一定成立.说明:在点(,)uv2012年3月10日星期六6返回上页下页目录1)中间变量多于两个的情形.例如,,),,(wvufz=设下面所涉及的函数都可微.=tzddωψϕ′′+′′+′′=321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzψϕ====∂∂xz1211ψϕ′′+′′=ff2221ψϕ′′+′′=ff=∂∂yzzzwvuvuyxyxttttuuzdd⋅∂∂tvvzdd⋅∂∂+twwzdd⋅∂∂+xuuz∂∂⋅∂∂xvvz∂∂⋅∂∂+yuuz∂∂⋅∂∂yvvz∂∂⋅∂∂+)(,)(,)(twtvtuωψϕ===推广:2012年3月10日星期六7返回上页下页目录),(,),(yxvvxfzψ==当它们都具有可微条件时,有xz∂∂121ψ′′+′=ffyz∂∂22ψ′′=ffz=xyx注意:这里xz∂∂xf∂∂xz∂∂表示固定y对x求导,xf∂∂表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导xf∂∂=xvvf∂∂⋅∂∂+yvvf∂∂⋅∂∂=与不同,v又如,2012年3月10日星期六8返回上页下页目录,,,sinyxvyxuvezu+===.,yzxz∂∂∂∂求解:xz∂∂veusin=)]cos()sin([yxyxyeyx+++⋅=yz∂∂)]cos()sin([yxyxxeyx+++⋅=veusin=xuuz∂∂⋅∂∂=xvvz∂∂⋅∂∂+veucos+yuuz∂∂⋅∂∂=yvvz∂∂⋅∂∂+veucos+y⋅1⋅x⋅1⋅zvuyxyx例1设（补充题）（自学课本例2）2012年3月10日星期六9返回上页下页目录,sin,),,(2222yxzezyxfuzyx===++yuxu∂∂∂∂,求解:xu∂∂2222zyxex++=yxyxeyxx2422sin22)sin21(2+++=zyxyxuyu∂∂2222zyxey++=yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2+++=xf∂∂=xzzf∂∂⋅∂∂+2222zyxez+++yf∂∂=yzzf∂∂⋅∂∂+2222zyxez+++yxsin2⋅yxcos2⋅例2（补充题）（自学课本例3）2012年3月10日星期六10返回上页下页目录,sintvuz+=.ddtzztvutttzddtev=tttetcos)sin(cos+−=tuuzdd⋅∂∂=tvvzdd⋅∂∂+tz∂∂+,teu=,cos求全导数tv=解:tusin−tcos+例3设（补充题）（自学课本例4）注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.2012年3月10日星期六11返回上页下页目录例4设2,,xsfxxyzy⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，求sx∂∂，sy∂∂，sz∂∂.令2ux=，解:xvy=，,wxyz=则sx∂∂suux∂∂=∂∂svvx∂∂+∂∂swwx∂∂+∂∂2uxf′=1vfy′++wyzf′+sy∂∂svswvywy∂∂∂∂=+∂∂∂∂2vwxfxzfy′′=−+sz∂∂swwz∂∂=∂∂wxyf′=（课本例5）2012年3月10日星期六12返回上页下页目录为简便起见,引入记号,,2121vuffuff∂∂∂=′′∂∂=′),(1zyxzyxf++′=f具有二阶连续偏导数,,),(zyxzyxfw++=求.,2zxwxw∂∂∂∂∂解:令,,zyxvzyxu=++=xw∂∂wvuzyxzyx),(vufw=11⋅′=fzyf⋅′+2),(2zyxzyxfzy++′+则zxw∂∂∂2111⋅′′=f22221211)(fyfzyxfzxyf′+′′+′′++′′=yxf⋅′′+122fy′+][zy+121⋅′′fyxf⋅′′+2221,,ff′′例5设（自学课本例6）2012年3月10日星期六13返回上页下页目录二、全微分的形式不变性设函数),(,),(,),(yxvyxuvufzψϕ===的全微分为yyzxxzzddd∂∂+∂∂=xxvvzxuuzd)(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=yyvvzyuuzd)(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+uz∂∂=vz∂∂+uz∂∂=可见无论u,v是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu∂∂+∂∂)dd(yyvxxv∂∂+∂∂则复合函数)(fz=),(,),(yxyxψϕudvz∂∂+vd都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.2012年3月10日星期六14返回上页下页目录利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全微分的四则运算公式：d()dd,d(),uvuvuvudvvdu±=±=+2(0).uvduudvdvvv−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠例如，d()uv()duvuu∂=+∂()duvvv∂+∂dd.vvuuv=+以上其余两个公式的证明类似.利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算更简便.2012年3月10日星期六15返回上页下页目录例6求222xuxyz=++的全微分及偏导数.解：du＝2222()xyz++222()dxyzx++222d()xxyz−++2(0).uvduudvdvvv−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠2222222()d(2d2d2d)()xyzxxxxyyzzxyz++−++=++2222222()d2d2d()yzxxxyyxzzxyz+−−−=++根据全微分的计算公式，求出du时也就得到了u的3个偏导数，即2222222()uyzxxxyz∂+−=∂++22222()uxyyxyz∂−=∂++22222()uxzzxyz∂−=∂++（课本例7）2012年3月10日星期六16返回上页下页目录例7设222,xzfxxyyy⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠且f具有一阶连续偏导数，求zx∂∂与zy∂∂.解：我们先求函数的全微分.由全微分形式不变性，得dz=2212d(2)dxfxxyyfy⎛⎞′′=⋅−−+⎜⎟⎝⎠122dd[2d2(dd)2d]yxxyfxxyxxyyyfy−′′=⋅−+−+⋅1212212()d2()dxxyffxxyffyyy⎡⎤⎡⎤′′′′=−+−++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1212()zxyffxy∂′′=−+∂故1222()zxxyffyy⎡⎤∂′′=−++⎢⎥∂⎣⎦（课本例8）2012年3月10日星期六17返回上页下页目录内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,,),(,),,(yxvvyxfuϕ==uvyxyx=∂∂xu1f′⋅′+3f;1ϕ′=∂∂yu2f′⋅′+3f2ϕ′2.全微分形式不变性,),(vufz=对不论u,v是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d+=课后练习习题7－41～8、9（奇数题）10、12、142012年3月10日星期六18返回上页下页目录思考与练习1、习题7－47=∂∂vz2)(11yx+=1⋅vx∂∂xz∂∂yz∂∂+vy∂∂)(2yx−⋅)1(−⋅y1⋅2)(11yx++22yxxy++=22vuu+=vuyvuxyxz−=+==,,arctan……2012年3月10日星期六19返回上页下页目录2、习题7－49(2)=∂∂xuy1⋅1f′11fy′==∂∂yu1f′)(2yx−⋅2f′+z1⋅=∂∂zu2f′)(2zy−⋅2121fzfyx′+′−=22fzy′−=()zyyxfu,=2012年3月10日星期六20返回上页下页目录,1),(2==xyyxf,2),(21xyxfxy=′=3.已知求.),(22xyyxf=′解:由1),(2=xxf两边对x求导,得02),(),(2221=⋅′+′xxxfxxfxxxf2),(21=′1),(22−=′xxf2012年3月10日星期六21返回上页下页目录))1,1(,1()1(ff=ϕ1)(dd3=xxxϕ1)1,1(==f1dd)(32==xxxϕϕ[3=)),(,(1xxfxf′())),(,(2xxfxf′+),(1xxf′),(2xxf′+]1=x⋅=351=,1)1,1(=f,)),(,()(xxfxfx=ϕ,2)1,1(=∂∂xf求.1)(dd3=xxxϕ),(yxfz=在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(=∂∂yf解:由题设[2⋅+3])32(+(2001考研)4.