北航矩阵论课件1.2

第二节线性变换和矩阵一、定义V,WFTVWF,VT(),TVWV=WTVTVxyxyTxTy设是域上的线性空间，映射：有以下性质：，，，有称为到的一个线性映射.特别当时，为到自身的线性映射，称为上的线性变换.TVVTx=x,xV.TVVTx=0,xV.例1恒等变换：，零变换：，33330,TRRTx=kx,xR.RkkT例2伸缩变换：取定令：，将中任一向量拉伸(k1)或压缩(k1)倍.121212,x(,)cossinTx=T(,)(,).sincosxxxxxx例3平面旋转变换：取定（0,2）令222121212TRRx(,)RTx=T(,)(,-).xxxxxx例4平面反射变换：，，有333TRR(,,)RT(,,)(,,0).xyzxyzxy例5投影变换：，，有0(1)(1).:[,b][,b],(())(),()[,b].:[,b][,b],(())'(),()[,b].xSCaCaSfxftdtfxCaDCaCaDfxfxfxCa例6微分算子和积分算子二、核、像空间，亏加秩定理V,WFL(V,W)VWTL(V,W),设为上线性空间,令表示所有到的线性映射的集合，设令(){|},()Im(){|,}.NTxVTxRTTyWyTxxVN(T)VR(T)WN(T)R(T)T.dimN(T)T()dimR(T)T易验证为的子空间，为的子空间，称及为的核空间和像空间并称为的零度或亏，为的秩，一般有以下定理：TL(V,W),VN(T)R(T)dimN(T)+dimR(T)=dimT.V定理1(亏加秩定理)设为有限维，则及均为有限维，且即的亏加秩等于其定义域的维数三、线性变换的矩阵和线性空间的同构111111111212122212dimV=n,TL(V,V),V,,,,1,,,,,,,A=().njjnjnnnnnnnnijnnnnnneeTeaeaejnTeeTeTeeeaaaaaaaFaaa设取定上的一组基令采用矩阵记法:()=()=()A,这里，由空间结构和T的线性性质，T由Te1,…,Ten完全确定，故由T唯一确定一个矩阵A，定义：称A为T在基e1,…,en在下的矩阵简称A为T的矩阵.如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？12dim,,,VA=(),T(,),A.nnnijnnVneeaFLVV定理：设为的一组基，任取则有且仅有一个线性变换使其矩阵恰为推论：L(V,V)与Fn×n之间存在一一对应关系.命题：L(V)=L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的运算：121212(),,(,);(),,.TTxTxTxTTLVVTxTxFxV易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变换空间，V,WFVW,,,,f(VWVWFxyVxyxy同构：设是的线性空间，若存在f：,满足：1)f是一一到上(双射)的映射,2)f保持运算,即有f()=f(）),则称与同构，记为.同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运算规律，故可视为一个空间.L(V,V)F.nn定理31212L(V,V)TT)TT),L(V,V)FF(),.L(V,W)F.nnnmxx注1:若对引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成(连续作用):((则有与作为上的环或代数同构从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了其全部信息注2:定理3的结构可推广到一般形式:VWdimdim.VW定理42n1()R()..dimL(VV)=n.dimV=nL(VV),TA,N(A)={|A0},R(A)={|=A,},nnnmnnnnnCnmFFF推论：任一实复维线性空间均与同构推论2：dimL(V,W)=dimF特别的,，推论3:设,T，的矩阵为F令则1)dimN(T)=dimN(A);2)dimR(T)=dimR(A)=r(A);3)(亏加秩)dimN(A)+=ndimR(A).TL(V,V),T.定理5设则在不同基下的矩阵相似四、特征值与特征向量0000TL(V,V),FV,T=,TT.定义设若存在及的非零向量使得则称为的一个特征值,而为的属于特征值的一个特征向量.注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变(在同一直线上)1110111001000V,,,T(,,)=(,,),T=(),=(,,),,T=T(,,)=(,,)==(,,),A=,I-A)=0,0|I-A|=0.:nnnnnnnneeeeeeAeeFeeeeAee取定的一组基设设则所以即(，(*)从而故引入下列定义111212122212000:A=(),,AI-A---|I-A|=---,A,ATATA,=(nnijnnnnnnnnaFaaaaaaaaan定义设为一参量的特征矩阵的行列式的展开式是的一个次多项式其根为的特征值而相应于(*)式的非零解向量称为的属于的特征向量.注:1)是的特征值是的特征值.2)是的特征向量是的特征向量这里，1,,).nee0n003)FAE(),AIA的属于的全部特征向量再添上零向量就构成了的一个线性子空间，称为的一个特征子空间，记为它就是齐次线性方程组()X=0的解空间.求矩阵A的全部特征值及特征向量的步骤：1t1122ti1111)|I-A|;2)f()=|I-A|FAA,,,A,,.(,,)(1),iiintiiiniiIAkFkeeit计算行列式求出多项式在数域中的全部根(即的特征值);3)对的每个特征值，解齐次线性方程组()X=0,求出它的一组基础解系则的属于的全部特征向量为kk不全为零注:T的属于的特征向量为从属于而全部特征向量为k22t..tikkk不全为零21:VF011f()1.101:dimV=n3:(){|(I-)0}(I-)().(I-)dim(I-),()dim()(I-)niiiiiiiiiEXFAXNArANAnEEnrA注特征值与特征向量是否存在依赖于所在的数域，如矩阵的特征多项式为注2当很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.注解空间由亏加秩定理有所以的维数为称为的几.何重数-1-1-1-12226:PAP=,|I-B|=|I-PAP|=|P(I-A)P|=|P|(I-A)|P|=|(I-A)|.1110:A=,,A(1),0101.1:BII定理相似矩阵有相同的特征多项式及特征值，反之不然.设则反例与的特征多项式均为但它们不相似注定理表明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，而直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特征多项式.11n12:()||11-()-()()();||.A.nniiiiinniikAfIAnatrAAAnk注的特征多项式是一个首的多项式，其次系数是的迹常数项为(-1)(-1)一般的，项系数为的所有k级主式子的和，乘以(-1)Schur引理：11n1n1n17:AC,,AA,,,()(A)(),,().k,,,,,.nnmmmnPnxnkkA定理任意的都相似于一个上三角阵，即存在满秩阵使PAP为上三角阵，其对角上元为的全部特征值.推论设的个特征值为为任一多项式，则矩阵多项式的个特征值为特别的,A的特征值为特征值为121-1-1-1-1-118:()AC,f()()(),*PAP=,0P(A)P(PAP)(PAP)(PAP)0(A)=0.nnnnnHamiltonCayleyffIIf定理设其特征多项式为f()=|I-A|,则必有(A)=0(零矩阵).证明：设f()及则故L(V,V)F,T:L(V,V),()T(T)nnTff注1:由于故对于线性变换有平行的结果且为的特征多项式，则为零变换.注2:Cayley定理对于一般数域F的矩阵也成立.由Cayley定理可知，任取矩阵A，必有可使其零化的多项式，引入::AF,AAm().m(),A.m()|()||.nnAAAfIA定义设使零化的最小次数的首1多项式称为的最小多项式，记为注：是唯一的且可整除任一的零化多项式特别地，有0000009:m()m()|()m()A.,()=0,A=,0=m(A)=m(A)=m()=m(),0m()=0.AAAAAAAAAff定理的特征多项式f()与最小多项式有相同的根(不计重数).证明：由知最小多项式的根是的特征根反之若设是属于的特征根，即从而而，故1212112112TA,,,,()()(),,=n.Am()()(),1(1).=m.Tm.()0()0,rrriinnnrriimmmAriiAnnmnirAT设的所有相异的特征值为的重数为即f()这里则的最小多项式为()其中特别地，当f()无重根时，f()()注：同样的可定义变换的最小多项式()因为我Tm=m.A们有()()10:A.定理矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关