北航矩阵论课件1.1

矩阵理论张继龙[e-mail]教科书:《矩阵论教程》机械工业出版社参考书:《矩阵分析》史荣昌等，北理工出版社《矩阵论》戴华，科学出版社第一章线性代数引论线性空间Jordan标准型第一节线性空间一、定义VV+设是一个非空集合，若中有一种规则，称之为加法运算“”,使得任取u,vV,都有V中唯一的元与之对应，称为u与v的和，记为u+v,且这种加法满足以下性质：VV此时称在加法运算下构成一个加群，记为（,+）u,;4)u,V-uuVVuuV1)交换律:u+v=v+u,2)结合律:(u+v)+w=u+(v+w);3)存在零元使得存在中唯一负元,使得+(-u)=.例如1.(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)在加法运算下;2.(Q\{0},·),(R\{0},·),(C\{0},·)在乘法运算下都构成加群.数域：若一个数集中任意两个数的和，差，积，商（除数不为0）仍在该数集中，则称该数集为数域.如：有理数域，实数域，复数域等线性空间：设(V,+)是一个加群，F是一个数域，若有F对V的数乘规则，使得有V中唯一元与之对应，记为，且此规则满足：,,FuVu1)(),,()),1,uvuvuuuuuuu数乘对加法分配律;2)(+)=数乘对数的加法分配律;3)=(数乘的结合律;4)=数乘的结合律;Fu,,VFvV其中，，此时，称是数域上的线性空间或者向量空间(V中元素称为向量，F中元素称为标量).当F=R时，称V是实线性空间，当F=C时，称V是复线性空间.例如1：几何空间，令12{|(,,,),,1,2,,}.TniVxxxxxxRin2：设V为C上得所以m×n矩阵构成的集合，即在矩阵加法和数乘矩阵运算下，V构成C上的线性空间(m×n阶复矩阵空间)，记为Cm×n.类似的可定义Rm×n.{()|},ijmnijVaaC二、维数，基底与坐标11221111111VF(1,,),.,x,,,,,.,,,,,,,0.iimmmmmmiiimmiiimVimxVFxxxxxxxxkkkxxxkxkk设为上线性空间,x若有c使得=ccc则称为的线性组合,或者说x可由线性表示如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关;否则称线性无关,即若则线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的任一扩展集仍线性相关.维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为dimV.当dimV∞,称V为有限维空间，否则为无限维空间，记dimV=∞.无限维空间很多，如0K={|,},niiiiaaQnN（为圆周率）K为Q上的无限维线性空间.设V是数域F上得线性空间，,若满足1,,rxxV1111),,,2),,.,,V.rrrxxVxxxx线性无关中任一x均可由线性表示则称为的一个基底（基）1,,Vrxx显然，如果则为的一个基底，则11V={|}=span(,,).riiirixFxx定理1设dimV+∞,则dim.VnVn的任一基底的元素个数为推论1n维线性空间中任意n个线性无关的向量均为V的一个基底，且任一线性无关组x1,…,xr,可扩充为一组基.推论2V中任意一个元素y,均可由V的一个基底x1,…,xn,唯一表出.坐标：11111dimV=n,,,,,,,,,,,.rniiiTnnnxxyVxaayxxxx设为一组基，令y=称有序数组()为在基下的坐标，它由y与基唯一确定n1P|.riniiiaxaR例如={}为n+1维空间，1，x,,x可作为它的基三、基变换与坐标变换11,,,,Vnnxxyy设及是空间的两个基，令1111(,),1,,iiininnniayaxaxxxina1111-111,,AA=(),A,,A,,A.nnijnnnnnnyyxxaxxyyyyxx引入矩阵表示：()=(),其中称为由基到基的过渡矩阵(变换矩阵).显然可逆，且由基到基的过渡矩阵为111111111x,(,)(,)(,).nniiiiiinnnnnnxyxxxyyAyy任取xV,设=故由唯一性知11111=A.nnnnA或者例题…四、子空间和维数定理VWVWWVFWV子空间：设是数域F上的线性空间，，非空，若中向量关于的加法和数乘运算也构成上的线性空间，则称为的子空间.VV{}.注：任一空间有两个平凡子空间和定理2VFWV设是上的线性空间，，以下三个命题等价1WV2:1)F,xW,xW2),W,W.3F,WW.xyxyxyxy命题：为的子空间命题命题：，，，也即W关于V的线性运算封闭.12121212121212WWVWW={xV|xW,xW},W+W={x+yV|xW,yW}.设，为的两个子空间，则交空间和空间交空间是包含于及的最大子空间，和空间是包含及的最小子空间.12WW.不一定为子空间，例如两个坐标轴之并定理312WWV设，为的两个子空间，则121212dim(WW)dimWdimWdim(WW).121212121212直和：如果和空间中的任一向量均可唯一的表成中的一个向量和中的一个向量之和，则称是与的直和，记为（或）.以下是刻画直和的几个等价条件：定理412WWV设，为的两个子空间，则以下命题等价：12121212121))WW{};4)dim(WW)dimWdimW.是直和;2)中零元素表法唯一例12