高中数学选修2-2-定积分的简单应用

1[学习目标]1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成的平面图形的面积S.(1)如图①，f(x)＞0，abf(x)dx＞0，所以S＝abf(x)dx.(2)如图②，f(x)＜0，abf(x)dx＜0，所以S＝abfxdx＝－abf(x)dx.(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)≤0，acf(x)dx＜0；当c≤x≤b时，f(x)≥0，abf(x)dx＞0.所以S＝acfxdx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)＞g(x))，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.(1)如图④，当f(x)＞g(x)≥0时，S＝ab[f(x)－g(x)]dx.(2)如图⑤，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.23.当g(x)＜f(x)≤0时，同理得S＝ab[f(x)－g(x)]dx.思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？(2)当f(x)0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝ab(0－f(x))dx＝－abf(x)dx.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.知识点二定积分在物理中的应用1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝abF(x)dx.思考下列判断正确的是.3(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子t1t2v(t)dt；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子t1t2v(t)dt.答案(1)(3)解析(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用t1t2v(t)dt求解；当v(t)0时，求某一时间段内的位移用t1t2v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－t1t2v(t)dt.所以(2)错(3)正确.题型一利用定积分求平面图形的面积问题例1求由抛物线y2＝x5，y2＝x－1所围成图形的面积.解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一以x为积分变量.由y2＝x5，y2＝x－1，得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B54，－12.设点P(1,0)，则所求面积S＝2054x5dx－154x－1dx＝235532442002531152xx＝23.方法二以y为积分变量.由y2＝x5，y2＝x－1，可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B54，－12.设点P(1,0)，则所求面积S＝2012(y2＋1－5y2)dy4＝2y－43y3120＝23.反思与感悟若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1在曲线y＝x2(x≥0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0，得x＝x02即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC.S曲边△AOB＝00xx2dx＝13x3x00＝13x30，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x02·x20＝14x30，即S＝13x30－14x30＝112x30＝112，所以x0＝1.从而切点为A(1,1)，切线方程为y＝2x－1题型二运用定积分求解物理问题例2一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)此点在t＝4s时的位置；(2)此点在t＝4s时运动的路程.解因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.(1)在t＝4s时，该点的位移为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m).即在t＝4s时该点在距出发点43m处.(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，5在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4s时的路程为S＝01(t2－4t＋3)dt＋13t2－4t＋3dt＋34(t2－4t＋3)dt＝01(t2－4t＋3)dt－13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝4(m).反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2有一辆汽车以每小时36km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了ts.v0＝36km/h＝10m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.令v(t)＝0，解得t＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝05(10－2t)dt＝(10t－t2)50＝25(m).故从开始刹车到停车，汽车行驶了25m.题型三用定积分解决变力做功问题例3设有一个长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功.解设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数).因为当f(x)＝100时，x＝5，所以k＝20.所以f(x)＝20x.弹簧由25cm伸长到40cm时，弹簧伸长的长度x从0cm变化到15cm，故所做的功W＝01520xdx＝10x2150＝2250(N·cm)＝22.5(J).反思与感悟(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W＝abf(x)dx求出变力所做的功.跟踪训练3如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.6解由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P＝CV(V表示气体体积，C为常数)，而活塞上的压力为F＝PQ＝CQV＝CL(Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，V＝LQ).记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W＝L1L2F(L)dL＝L1L2CLdL＝CV1V21VdV＝C(lnV)V2V1＝C(lnV2－lnV1).所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(lnV2－lnV1).用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积.错解由题意，作出图形如图由y2＝8xy＞0，x＋y－6＝0得x＝2，y＝4，所以抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为S＝04(6－x－8x)dx＝324201262223xxx＝24－8－423×324＝16－3223.错因分析S＝04(6－x－8x)dx＝04(6－x)dx－048xdx.04(6－x)dx表示由直线y＝6－x与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积，048xdx表示由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积.上述S显然不是所求图形的面积.7正解S＝028xdx＋26(6－x)dx＝32283x20＋6x－12x262＝163＋6×6－12×62－6×2－12×22＝163＋8＝403.防范措施合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()S＝ba[f(x)－g(x)]dxS＝08(22x－2x＋8)dx①②S＝14f(x)dx－47f(x)dxS＝0a[g(x)－f(x)]dx＋ab[f(x)－g(x)]dx③④A.①③B.②③C.①④D.③④答案D解析①应是S＝ab[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝0822xdx－48(2x－8)dx，③和④正确.故选D.2.曲线y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是()A.2B.3C.52D.4答案B8解析S＝0π2cosxdx－π23π2cosxdx＝sinxπ20-sinx3π2π2＝sinπ2－sin0－sin3π2＋sinπ2＝1－0＋1＋1＝3.3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405B.540C.810D.945答案A解析停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴s＝030v(t)dt＝030(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)300＝405.4.由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是.答案193解析由图形可得S＝01(x2＋4－5x)dx＋14(5x－x2－4)dx＝13x3＋4x－52x210＋52x2－13x3－4x41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.5.一个弹簧压缩xcm可产生4xN的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5cm，求弹簧克服弹力所做的功.解设F(x)＝kx，∵弹簧压缩xcm可产生4