两角和与差的正弦余弦正切公式定理

,.两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈Rcos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.,.【答案】0教材整理2两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．1．公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα、β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα、β∈R2.重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝aa2＋b2，sinθ＝ba2＋b2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()解：(1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sinβ.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°,.＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()(3)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．(),.解：(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan0＋tanπ3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．【答案】(1)√(2)×(3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)(2016·济宁高一检测)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C．12D．32(2)化简求值：,.①1＋tan75°1－tan75°；②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；③(2016·遵义四中期末)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°.(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．解：(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.【答案】C(2)①原式＝tan45°＋tan75°1－tan45°tan75°＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－3.∴原式＝－3.,.②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cosα＝0.∴原式＝0.③原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝3.∴原式＝3.1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tanπ4”、“3”与“tanπ3”、“12”与“cosπ3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[再练一题]1．化简求值：(1)cos61°cos16°＋sin61°sin16°；(2)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；,.(3)1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°.解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos45°＝22.(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.(3)原式＝1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°＝－1tan（72°－12°）＝－33.给值求值(2016·普宁高一检测)已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4＋α＝－35，sin34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值.【导学号：00680069】可先考虑拆角，π＋α＋β＝34π＋β＋π4＋α，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．解：因为π4α34π，所以π2π4＋απ.所以sinπ4＋α＝1－cos2π4＋α＝45.,.又因为0βπ4，34π34π＋βπ，所以cos34π＋β＝－1－sin234π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－sinπ4＋αcos34π＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β＝－45×－1213＋－35×513＝6365.1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；(2)α＋β2＝α－β2－α2－β，α－β2＝α＋β2－α2＋β；,.(3)π4＋α＋π4＋β＝π2＋(α＋β)；(4)π4＋α＋π4－β＝π2＋(α－β)．[再练一题]2．已知cosα＝－45，α∈π，3π2，tanβ＝－13，β∈π2，π，求cos(α＋β)．解：因为α∈π，3π2，cosα＝－45，所以sinα＝－35.因为β∈π2，π，tanβ＝－13，所以cosβ＝－31010，sinβ＝1010.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－45×－31010－－35×1010＝31010.给值求角已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β为锐角，求α＋,.β的值．sinα，sinβ→求cosα，cosβ→求cos（α＋β）→确定α＋β的范围→求α＋β的值解：∵sinα＝55，α为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝255.又sinβ＝1010，β为锐角，∴cosβ＝1－sin2β＝31010.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又α，β∈0，π2，∴0α＋βπ，因此α＋β＝π4.1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．,.2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．[再练一题]3．若把本例题的条件改为“α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210”，试求角α的大小．解：∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sinβ＝－210，知cosβ＝7210.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22.又α∈0，π2，∴α＝π4.[探究共研型]辅助角公式的应用,.探究1函数y＝sinx＋cosx(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对．因为sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2sinx·cosπ4＋cosx·sinπ4＝2sinx＋π4.所以函数的最大值为2.探究2函数y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？【提示】因为y＝3sinx＋4cosx＝535sinx＋45cosx，令cosφ＝35，sinφ＝45，则y＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，所以函数y的最大值为5.探究3如何推导asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)tanφ＝ba公式．【提示】asinx＋bcosx,.＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，令cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ＝ba确定，或由sinφ＝ba2＋b2和cosφ＝aa2＋b2共同确定)．当函数y＝sinx－3cosx(0≤x2π)取得最大值时，x＝________.可先用公式Sα±β将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)形式再求最大值对应的x值．解：函数为y＝sinx－3cosx＝212sinx－32cosx＝2sinxcosπ3－cosxsinπ3＝2sinx－π3，当0≤x2π时，－π3≤x－π35π3，,.所以当y取得最大值时，x－π3＝π2，所以x＝5π6.【答案】5π61．对于形如sinα±cosα，3sinα±cosα的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．[再练一题]4．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2，2]B．－3，3C．[－1，1]D．－32，32解：f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋12sinx＝32s