高考数学（理）考点一遍过考点57,推理与证明-之

高考数学（理）考点一遍过考点57,推理与证明-之（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.一、推理1．推理（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前提结论”.（2）分类：推理．2．合情推理（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理.（2）特点：①合情推理的结论是猜想，不一定正确；②合情推理是发现结论的推理.（3）分类：合情推理．（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤名称归纳推理类比推理定义根据某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理特征由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理步骤①通过观察部分对象发现某些相同性质②从已知的一个明确表达的一般性命题（猜想）中推出相似性或一致性①找出两类事物之间的相同性质②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）特点：①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确；若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.②演绎推理是证明结论的推理．（3）模式：三段论是演绎推理的一般模式，即①大前提——已知一般的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.【注】三段论常用的格式为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.二、证明1．直接证明——综合法与分析法（1）综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证的结论)③思维过程：由因导果．（2）分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：(其中P表示要证明的结论)③思维过程：执果索因．2．间接证明——反证法（1）定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法中的矛盾主要是指以下几方面：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾．三、数学归纳法（1）概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；②(归纳递推)假设时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.（2）框图表示：（3）用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下两点：①验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．②递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．考向一合情推理常见的类比、归纳推理及求解策略：（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.典例1不难证明：一个边长为，面积为的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为，体积为，则其内切球的半径为_____________．【答案】【解析】由题意得，故．将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为，则，∴，即内切球的半径为．故答案为.【名师点睛】类比推理应用的类型及相应方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．典例2有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………………………则第30行从左到右第3个数是________．【答案】1051【解析】先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n+2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【技巧点拨】解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：①明确各行、各列数的排列顺序；②分别归纳各行、各列中数的规律；③按归纳出的规律写出第n行第m个数.解决此类问题一般需要转化为求数列的通项公式或前n项和等.1．设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．2．将棱长相等的正方体按图示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，……，则第20层正方体的个数是A．420B．440C．210D．220考向二演绎推理（1）演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.（2）演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.典例3有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】因为对于可导函数，如果，那么不一定是函数的极值点，所以大前提错误.故选A．典例4甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师.故选C.3．有一段演绎推理：“对数函数是增函数；已知是对数函数，所以是增函数”，结论显然是错误的，这是因为A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．考向三直接证明利用综合法、分析法证明问题的策略：（1）综合法的证明步骤如下：①分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；②转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可.（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.典例5已知，求证：.【答案】见解析.【解析】要证，即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．￥%网【名师点睛】①逆向思考是用分析法证明的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．②证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.5．（1）设，用综合法证明：；（2）用分析法证明：.考向四间接证明1．用反证法证明不等式要把握的三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤：（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.典例6用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数【答案】B【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”，故选B.【名师点睛】反证法证明含“至少”、“至多”型命题时，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.典例7若a,b,c均为实数，，，.求证：a，b，c中至少有一个大于0.【答案】见解析.【解析】设a、b、c都小于或等于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋－60，这与假设矛盾，即原命题成立.【名师点睛】用反证法，假设都小于或等于0，推出的值大于0,出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证.反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词