初中数学：确定圆的条件练习题

1初中数学：确定圆的条件练习题一、选择题1．下列四个命题中正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是()A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是()A．(0，0)B．(1，0)C．(－2，－1)D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()2图K－24－2A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为()图K－24－3A．42B．33C．4D.726．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题7．已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为________cm2.(结果用含π的代数式表示)8．如图K－24－4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC＋∠BOC＝180°，BC＝23cm，则⊙O的半径为________cm.图K－24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.10．已知△ABC的三边长a，b，c满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4a－1＋10b，则△ABC的3外接圆半径为________．三、解答题11．如图K－24－5，已知弧上三点A，B，C.(1)用尺规作图法，找出BAC︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R.链接听课例1归纳总结图K－24－5412.如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－7514．如图K－24－8，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－86探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．7详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案]B2．[答案]A3．[解析]C∵△ABC的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图，∴EF与MN的交点O′就是所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是(－2，－1)．故选C.4．[解析]B只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF.5．[解析]C∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝6.∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝BC2＋AC2＝52＋122＝13.∵OA＝OB，AE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝12BC＝2.5，∴DE＝OD－OE＝12×13－2.5＝4.故选C.6．[解析]C①当点O在三角形的内部时，如图①所示，则∠BAC＝12∠BOC＝35°；②当点O在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC＝12(360°－70°)＝145°.故选C.7．[答案]25π8[解析]因为62＋82＝102，所以△ABC为直角三角形，且斜边长为10cm，则其外接圆的半径为5cm，所以外接圆的面积为25πcm2.8．[答案]2[解析]如图，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.∵OE⊥BC，∴BE＝EC＝3，∠BOE＝∠COE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE.设OE＝xcm，则OB＝2xcm，∴4x2＝x2＋(3)2，∴x＝1(负值已舍去)，∴OB＝2cm.9．[答案]10或8[解析]分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案]258[解析]原式整理，得b2－10b＋25＋a－1－4a－1＋4＋|c－6|＝0，即(b－5)2＋(a－1)2－4a－1＋4＋|c－6|＝0，(b－5)2＋(a－1－2)2＋|c－6|＝0.∵(b－5)2≥0，(a－1－2)2≥0，|c－6|≥0，∴b＝5，a＝5，c＝6，∴△ABC为等腰三角形．如图所示，过点C作CD⊥AB，设O为外接圆的圆心，则OA＝OC＝R，∵AC＝BC＝5，AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴CD＝AC2－AD2＝4，∴OD＝CD－OC＝4－R.在Rt△AOD中，R2＝32＋(4－R)2，解得R＝258.11．[解析](1)作AB，AC的中垂线即得圆心O；(2)已知BC和AB的长度，所以可以构造9直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解：(1)如图，作AB，AC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O.(2)连接AO交BC于点E，连接BO.∵AB＝AC，∴AB︵＝AC︵，∴AE⊥BC，∴BE＝12BC＝8cm.在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝100－64＝6(cm)．在Rt△OBE中，R2＝82＋(R－6)2，解得R＝253cm，即圆片的半径R为253cm.12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B＝∠E.又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形．(2)如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又AD＝BC，∴CE＝BC，∴OM＝ON.又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A作AC⊥x轴于点C.∵A(6，8)，∴OC＝6，AC＝8.10∵B(12，0)，∴OB＝12，∴BC＝6＝OC，∴AC是OB的垂直平分线，∴AO＝AB.(2)如图，作OA的垂直平分线交AC于点P，点P就是所求的外心．(3)连接PO.∵点P是△AOB的外心，∴PA＝PO＝r.∵AC＝8，∴PC＝8－r.在Rt△POC中，PO2＝OC2＋PC2，∴r2＝62＋(8－r)2，解得r＝254，∴PC＝74，∴P6，74.14．解：(1)证明：∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.又∵D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC.(2)证明：连接BO，由(1)知AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO.又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴点O是△ABC外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠ABD＝∠AEB.又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴ABAE＝ADAB.11在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝12BC＝3，∴AD＝4，∴AE＝254.解法2：由(2)得AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAO.∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠OEB＝90°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE.在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝12BC＝3，∴AD＝4.设OB＝x,则OD＝4－x，由32＋(4－x)2＝x2，解得x＝258，∴AE＝2OB＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)．(2)没有．题图④中，∠B＋∠D＜180°；题图⑤中，∠B＋∠D＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．