与圆有关的位置关系

1与圆有关的位置关系适用学科初中数学适用年级初中三年级学生姓名辅导时间2014.10.31知识点1、点与圆的位置关系2、直线与圆的位置关系3、切线长定理4、切线的判定5、圆与圆的位置关系6、三角形的内心和外心教学目标1、探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2、知道三角形的内心和外心．3、了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.教学重点直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系教学难点切线的判定定理教学过程一、复习圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．两圆外离d＞R＋r；两圆外切d＝R2＋r；两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切d＝R－r(R＞r)；两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)．二、知识讲解考点/易错点1点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系点在圆外，点在圆上，点在圆内．2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外dr；点在圆上d＝r；点在圆内dr.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心、；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．考点/易错点2直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系相离、相切、相交2．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交dr；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离dr.考点/易错点3切线的判定和性质31.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。2.切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、例题精析【例题1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【例题2】如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DBDP＝DCDO＝23.(1)求证：直线PB是⊙O的切线；(2)求OA/OP的值4【答案】(1)证明：连接OB，OP，∵DBDP＝DCDO＝23，且∠D＝∠D，∴△BDC∽△PDO，∴∠DBC＝∠DPO，∴BC∥OP，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠BOP＝∠POA．又∵OB＝OA，OP＝OP，∴△BOP≌△AOP，∴∠PBO＝∠PAO.又∵PA⊥AC，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴直线PB是⊙O的切线．(2)由(1)知∠BCO＝∠POA，设PB＝a，则BD＝2a，又∵PA＝PB＝a，∴AD＝DP2－PA2＝22A．又∵BC∥OP，∴DC＝2CO，∴DC＝CA＝12AD＝12×22a＝2a，∴OA＝22a，∴OP＝OA2＋PA2＝22a2＋a2＝62a，∴OAOP＝33.5【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.则△ABC的内切圆半径r=______.【解析】在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∵S△ACB＝12AC·BC＝12×6×8＝24，∴r＝2Sa＋b＋c＝486＋8＋10＝2.五、课堂运用【基础】1、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．外离2、两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切【巩固】1、如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2cm，∠P＝30°，则PO＝__________cm.62、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．【解析】如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点．∵AB是⊙O的切线，∴OC⊥AB.∵EF∥AB，∴OC⊥EF.∴EG=12EF.∵∠O=2∠D=60°，∴EG=3.∴EF=23.7【拔高】1、如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.(1)求证：AD＝DC；(2)求证：DE是⊙O1的切线；(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．8【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵AO是⊙O1的直径，∴∠ADO=90°.∵AC为⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD=DC.(2)证明：∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D∥OC.又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D.∴DE与⊙O1相切．(3)O1OED为正方形．证明：∵OE=EC，且D为AC中点，∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∵∠DEO=90°，O1O=O1D，∴四边形O1OED为正方形．2、如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且⊙O过点A，过点A作AD∥BC交⊙O于点D．求证：(1)AC是⊙O的切线；(2)四边形BOAD是菱形．9【答案】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°.∵点A，B都在⊙O上，∴OA＝OB.∴∠BAO＝∠ABC＝30°.∴∠OAC＝∠BAC－∠BAO＝120°－30°＝90°.又OA为半径，CA经过点A，∴CA是⊙O的切线．(2)如图，连接DO，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=30°.∴∠BOD=2∠DAB=60°.∴∠ADO=∠BOD=60°.又∵BO=DO，∴∠BOD=∠ODB=∠DBO=60°.∴BO=DO=DB.同理AD=DO=AO.∴AD=DB=BO=AO.∴四边形BOAD是菱形．