专题57-直线与圆的位置关系(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题57直线与圆的位置关系专题知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心到直线l的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2．若l与圆C相离⇔dr；l与圆C相切⇔d＝r；l与圆C相交⇔dr.若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ0，则相离．2．圆的弦和切线：圆的半径为r，直线l与圆相交于A、B，圆心到l的距离为d，则|AB|＝2r2－d2．过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．3．直线与圆的方程的应用包括在平面几何中的应用以及在实际生活中的应用．4．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．5．过圆外一点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．考点探究考向1直线与圆的位置关系【例】已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为13的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】(1)法一：将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.∵直线l与圆C交于M，N两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)0，得k23，(*)∴k的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．法二：求圆心到直线的距离dr即可．(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r＝2.在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin45°＝2，故圆心C(0，4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.题组训练1.在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是____．【解析】设P(x，y)，由PA→·PB→≤20，易得2x－y＋5≤0，由2x－y＋5＝0x2＋y2＝50，可得M：x＝－5y＝－5或N：x＝1y＝7，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧MN上，结合限制条件－52≤x≤52，可得点P横坐标的取值范围为[－52，1].2.(2018·扬州期末)已知直线l：x＋3y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长为________．【解析】∵圆心C(0,0)到直线l的距离d＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，∴AB＝24－1＝23，故弦AB的长为23.3.已知过点M(－1，－1)的直线l与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，则直线l的斜率的取值范围____．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】设过点M(－1，－1)的直线l的方程为y＋1＝k(x＋1)，将圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0改写成(x－1)2＋(y＋3)2＝4，则圆心坐标为(1，－3)，若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，故圆心到直线l：y＋1＝k(x＋1)的距离可知|k（1＋1）－1＋3|1＋k22，解得k0.4.已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)，则直线l与圆C的位置关系是____．【解析】注意到直线(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，即(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0恒过直线x＋y－4＝0与2x＋y－7＝0的交点(3，1)，且点(3，1)与圆心(2，2)的距离等于2(小于半径2)，即点(3，1)位于圆C内，因此直线l与圆C的位置关系是相交．考向2圆的切线问题【例】（2018·南京一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点(4,0),(0,4)AB，从直线AB上一点P向圆221xy引两条切线，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，求线段AM长的最大值．【解析】∵直线AB的方程为4xy，∴设00(,4)Pxx，则以OP为直径的圆方程为2200(4)0xyxxxy，联立圆221xy，并消去二次项得CD的直线方程为00(4)4xxxy，∵线段CD的中点为M，∴直线OM的方程为00(4)0xxxy，两式消去0x得M点的轨迹方程为22111()()222xy，即圆心为11(,)22，半径为22的圆．又(4,0)A，∴AM长的最大值为149232442．题组训练1.过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线(O为坐标原点)，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝____．【解析】可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝1＋3＝2.又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝3，∠APB＝60°.故PA→·PB→＝3×3×cos60°＝32.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师2.求过点(－2,3)作圆x2＋y2＋2x－4y＝4的切线方程．【解析】当斜率不存在时，直线方程为2x，此时圆心(1,2)到直线2x的距离等于1，∴圆与直线相切.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为3(2)ykx，则2111kk，解得0k，∴切线方程为3y.综上切线方程为3y或2x.3.若过点P(3，4)的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则实数a的值为____．【解析】设过点P(3，4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，此直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，所以圆心(2，2)到直线的距离为圆的半径2.即|2k－2－3k＋4|k2＋1＝2，解得k＝0或－43，又因为与直线ax－y＋1＝0垂直，所以k＝－43，ka＝－1，所以a＝34.4.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－3)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．【解析】因为PT与圆x2＋y2＝1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∠OTP＝π2，从而∠OPT＝π6，PT＝3，故直线PT的方程为x±3y＋2＝0，因为直线PT截圆(x－a)2＋(y－3)2＝3得弦长RS＝3，设圆心到直线的距离为d，则d＝|a±3＋2|2，又3＝23－d2，即d＝32，即|a±3＋2|＝3，解得a＝－8或a＝－2或a＝4，因为a0，所以a＝4.考向3直线与圆的应用【例】如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长．【解析】以O为原点，直线l、m分别为x，y轴建立平面直角坐标系．设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2＋(y－1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ的方程为x2＋yq＝1，即qx＋2y－2q＝0，(q2)，∵PQ与圆A相切，∴|2－2q|q2＋22＝1，解得q＝83，故当P距O处2百米时，OQ的长为83百米．(2)设直线PQ的方程为xp＋yq＝1，即qx＋py－pq＝0，(p1，q2)，∵PQ与圆A相切，∴|p－pq|q2＋p2＝1，化简得p2＝qq－2，则PQ2＝p2＋q2＝qq－2＋q2令f(q)＝qq－2＋q2(q2)，∴f′(q)＝2q－2（q－2）2＝2（q－1）（q2－3q＋1）（q－2）2(q2)，当2q3＋52时，f′(q)0，即f(q)在(2，3＋52)上单调递减；当q＞3＋52时，f′(q)0，即f(q)在(3＋52，＋∞)上单调递增，∴f(q)在q＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为3＋52百米．题组训练已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(1)求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于不同两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．【解析】(1)证明：将l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.因为对于任意实数m，方程都成立，所以x＋y－4＝02x＋y－7＝0，得x＝3y＝1，所以对于任意实数m，直线l恒过定点P(3，1)，又圆心C(1，2)，r＝5，而|PC|＝55，即|PC|r，所以P点在圆内，所以直线l与圆恒交于两点．(2)l被圆截得的弦最短时，l⊥PC.∵kPC＝2－11－3＝－12，所以kl＝2，所以l的方程为2x－y－5＝0为所求，此时，最短的弦长为225－5＝45.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师