复数-教案(绝对经典)

复数复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小．【复习指导】1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ→的模r叫作复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．(2)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.3．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c＋di≠0)．一条规律任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.双基自测1．复数－i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()．A.15B．－15C．－15iD．－25答案D解析－i1＋2i＝－i1－2i1＋2i1－2i＝－2－i5＝－25－15i.2．设i是虚数单位，复数1－3i1－i＝()．A．2－iB．2＋iC．－1－2iD．－1＋2i答案A解析1－3i1－i＝12(1－3i)(1＋i)＝12(4－2i)＝2－i.3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()．A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1答案C解析由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根据复数相等得：a＝1，b＝－1.4．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝()．A．2－2iB．2＋2iC．1－iD．1＋i答案C解析z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21－i2＝1－i.5、如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A（B）B（C）C（D）D题型一复数的概念例1(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为()yxDBAOCA．1B．iC.25D．0(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件思维启迪：(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案(1)A(2)A解析(1)由z1z2＝2＋ai1－2i＝2＋ai1＋2i5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.(2)由m2＋m＋1＝3m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．(2)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．答案(1)－1(2)2解析(1)由复数z为纯虚数，得x2－1＝0x－1≠0，解得x＝－1，故选A.(2)方法一∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝6＋4i2－3i＝26i13＝2i，∴|z|＝2.方法二由z(2－3i)＝6＋4i，得z＝6＋4i2－3i.则|z|＝6＋4i2－3i＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋－32＝2.考向二复数的几何意义【例2】►在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()．A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.答案C【训练2】复数1＋i1－i＋i2012对应的点位于复平面内的第________象限．解析1＋i1－i＋i2012＝i＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限．答案一考向三复数的运算【例3】►①已知复数z＝3＋i1－3i2，则|z|＝。②设复数z满足1+z1z＝i，则|z|＝。【答案】②1【训练3】①i为虚数单位，则20191-1）（ii＝。②设复数z满足：iiz2-12,则z=。③设复数z满足：izz2，则z=。【答案】①iiii20192019-1-1）（）（③i43课堂练习一、选择题错误!未指定书签。1．21i（）（A）22（B）2（C）2（D）1【答案】C22(1)2(1)11(1)(1)2iiiiii，所以221i，选C.2错误!未指定书签。．复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于_______（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B。211ziiiii，对应点的坐标为(1,1)，位于第二象限，选B.3错误!未指定书签。．如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是（）A．AB．BC．CD．D【答案】Bbiaz则0a，0b，biaz，则0a，0b，在第三象限，故选B.4错误!未指定书签。．复数)()2(2为虚数单位iiiz,则||z（）A．25B．41C．5D．5【答案】C3443izii，所以||5z，故选C.5错误!未指定书签。．设i是虚数单位,若复数10()3aaRi是纯虚数,则a的值为（）A．-3B．-1C．1D．3【答案】D6错误!未指定书签。．若()34ixyii,,xyR,则复数xyi的模是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D二、填空题1错误!未指定书签。．已知复数12zi(i是虚数单位),则z____________.【答案】52错误!未指定书签。．设mR,2221immm是纯虚数,其中i是虚数单位,则m________.【答案】2m3错误!未指定书签。．i为虚数单位,设复数1z,2z在复平面内对应的点关于原点对称,若123iz,则2z__________.【答案】223zi复数精编训练1、112ii的值等于（）A．-1B．1C．iD．－i【答案】A2、设复数z满足225zii，则z（）A．23iB．23iC．32iD．32i【答案】A3、复数321izii（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．12iB．12iC．1iD．1i【答案】B4、i是虚数单位，若21iabii(,)abR，则lg()ab的值是A、2B、1C、0D、12【答案】C5、若a为实数，且12aiii，则aA.2B.1C.1D.2【答案】D6、已知i为虚数单位，则复数112112ii在复平面所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D7、已知i为虚数单位，Ra，若iai2为纯虚数，则复数iaz2)12(的模等于()A．2B．3C．6D．11【答案】C8、若复数4()1bibRi的实部与虚部互为相反数，则b__________【答案】0b9、若iaz21，234zi，且21zz为纯虚数，则实数a的值为_________．【答案】83