数学归纳法在高等代数中的应用

数学归纳法在高等代数中的应用内容摘要：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等方面的应用简单的做了汇总，说明了数学归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用.关键词：数学归纳法高等代数应用在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义.因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题.数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它是用来证明与自然数n有关的命题.而在高等代数中，行列式的阶、多项式的元、矩阵的行与列、线性方程组的未知量、二次型的元、线性空间的维数均与自然数有关,因此数学归纳法在高等代数中的应用非常重要.本文将第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用做叙述.一﹑数学我归纳法概念【18】【19】1﹑第一数学归纳法：设()Pn是关于自然数n的命题，若（1）()Pn在1n时成立；（2）在()Pk（k是任意自然数）成立的假定下，可以推出(1)Pk成立，则()Pn对一切自然数n都成立.2﹑第二数学归纳法：设()Pn是关于自然数n的命题，若，（1）()Pn在1n时成立;1（2）在()Pk（1nk,其中k是任意自然数）成立的假定下，可以推出(1)Pk成立，则()Pn对一切自然数n都成立.二、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在多项式中的应用例1【7】【12】【14】每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.证明：对次数n作第二数学归纳法.对一次多项式显然成立.假设对次数n的多项式已经证明.设()fx是n次实系数多项式.有代数基本定理，()fx有一个复根..如果是实数,那么1()()()fxxfx，其中1()fx是1n次实系数多项式.如果不是实数，那么也是()fx的根且.于是2()()()()fxxxfx.显然2()()()xxxx是一实系数二次不可约多项式.从而2()fx是2n次实系数多项式.由归纳法假定，1()fx或2()fx可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之()fx也可以如此分解.例2【9】【10】【17】已知121(),(),,()sfxfxfx是不全部为零的多项式,其中121((),(),,(),())ssfxfxfxfx11(((),,()),())ssfxfxfx（1），存在多项式12(),(),,()suxuxux，使111()()()()((),,())sssuxfxuxfxfxfx.证：对s用第二数学归纳法当2s时，结论显然成立.假定对1s个多项式结论成立，即存在多项式11(),,()skxkx，使1111111()()()()((),,())()ssskxfxkxfxfxfxdx(2)（1()dx为121(),(),,()sfxfxfx的一个公因式）.再证对s个多项式结论也成立.由于1((),())()sdxfxdx（()dx为1(),,()sfxfx的一个公因式），故存在(),()suxux，使11()()()()()((),,())sssuxdxuxfxdxfxfx.把（2）式代入（1）式，得211111()()()()()()()()((),,())sssssuxkxfxuxkxfxuxfxfxfx或11111()()()()()()((),,())sssssuxfxuxfxuxfxfxfx.其中()()(),1,2,,1iiuxuxkxis.例3【8】设1(),,()mfxfx及1(),,()ngxgx为mn个多项式，而且(()())1,1,,;1,,ijfxgximjn.证明:121121(()()()(),()()()())1mmnnfxfxfxfxgxgxgxgx.证：对m用第二数学归纳法.当1m时，再对n用第二数学归纳法.当1n时，结论当然成立，因为有11((),())1fxgx.假定1n时，结论成立，即有1121((),()()())1nfxgxgxgx.但是1((),())1nfxgx,故由(若((),())1,((),())1fxgxfxhx得((),()())1fxgxhx)知，有1121((),()()()())1nnfxgxgxgxgx.即1m时结论成立.假定结论对1m成立，即有11121(()(),()()()())1mnnfxfxgxgxgxgx.再根据1m时成立的结论,有121((),()()()())1mnnfxgxgxgxgx,得121121(()()()(),()()()())1mmnnfxfxfxfxgxgxgxgx.即结论对m成立。从而有数学归纳法原理知，结论对任意正整数,mn均成立.（二）数学归纳法在行列式中的应用例4【6】【9】【13】设1nii及1njj为数码1,2,,n得任意两个排列.证明：总可以通过对换把一个变成另一个，且若二者奇偶性相反（相同），则必须用奇(偶）数个对换.证：对数码个数n用第二数学归纳法.当2n时结论显然成立.假定对1n个数码结论已成立.下证对n个也成立.若11ij,则2nii与2njj是1n个数码的排列，按归纳假设他们可以通过对换互3化，亦即12niii与12njjj可通过对换互化.如果11ij,设1iij,则12niii通过对换（1iii）化成21iniiii,它与12njjj就是上面情形.所以又可通过对换把21iniiii化为12njjj.又由于对排列每施行一次对换都改变排列的奇偶性，故当12niii与12njjj的奇偶性相反时，只能通过奇数个对换把一个变成另一个；而当二者奇偶性相同时，只能通过偶数个对换把一个变成另一个.例5【14】【17】行列式123222212311111231111nnnnnnnaaaadaaaaaaaa（1）称为n级的范德蒙德行列式.证明：对任意的(2)nn，n级范德蒙德行列式等于12,,,naaa这n个数的所有可能的差(1)ijaajin的乘积.我们对n作第一数学归纳法.当2n时，211211aaaa，结论是对的.设对于1n级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看n级的情况.在（1）中，第n行减去第1n行的1a倍，第1n行减去第2n行的1a倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的1a倍，有21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnaaaaaadaaaaaaaaaaaaaaaaaa2131122221231311212122123131nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa412322222131112322221231111()()()nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa.后面这行列式是一个1n级的范德蒙德行列式，根据归纳假设，它等于所有可能差(2)ijaajin的乘积；而包含1a的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.例6【11】【12】设120naaa,证明：12311111111111111111111nnaaaa=1211(1+)nniiaaaa.证：对行列式的阶数n用第二数学归纳法.当2n时可以直接验算结论成立.假定对这样的1n阶行列式结论成立，进而证明对阶数为n时结论成立.按n的最后一列，把n拆成两个n阶行列式相加：1122111110111111101111111011111111111nnnnaaaaaaa=12n-11nnaaaa.但由归纳假定，1112111(1+)nnniiaaaa，从而有112112111(1+)nnnnniiaaaaaaaa=12111(1+)nnniiaaaaa.例7证明：512311221132(1)[(1)]121nnnnnnxnnxxnnDxxxxxxxxx证：对n用第一数学归纳法.当2n时显然成立.假定对1n成立，下证对n也成立.按第一列把nD表示成两个行列式相加，再由归纳假设即得2312312101212012101nxnxnxnnDxxxnxnxxxxx=12312311121122(1)11213111nnnxnxxxnxxnxxxxx=12111(1)(1)(1)[(1)]nnnnnxxxxx=(1)[(1)]nnnxx.（三）数学归纳法在矩阵中的应用注：数学归纳法不仅可以在证明题中运用还可以在计算题中运用.在计算题中用到时首先用不完全归纳法猜想出结果，再用数学归纳法证明其结果正确.例8【7】【12】【14】计算100100n.解：利用不完全归纳法可猜想到121(1)1020100000nnnnnnnnnnn，6下面用第一数学归纳法证明.当2n时，有221212102101020000，即结论成立.假设对于1n，结论成立，即1231121(1)(2)(1)102010(1)0000nnnnnnnnnnn.则对于n，有1101010010101000000nn123121(1)(2)(1)1020(1)010000nnnnnnnnnn121(1)2000nnnnnnnnnn.故121(1)1020100000nnnnnnnnnnn.例9【12】【14】设A是一nn矩阵，1A，求证：A可以表成(,())Pijk这一类初等矩阵的乘积.证明：用第一数学归纳法.当2n时，结论成立.假定对于1n结论成立，可推证当n时的结论.7①若110a，则1111112122212111111'1nnnnnnnnnnaaaaaaaaArraaaaa122221211121'1001'0(1)0nnnnnnnnnaabbrraaabb.1100BB.即A可以通过一系列第三种初等变换化成B，由于第三种初等变换不改变行列式的值，因此11ABB.又1B是1n级矩阵，由归纳假设有，1B可以用第三种初等变换化成单位矩阵E，因而B也可以用第三种初等变换化成E，这就是说，A可以用一系列第三种初等变换化成E，所以A可以表示成(,())Pijk这一类初等矩阵的乘积.②若110a，则由10A可知，A的第一列至少有一个10(1)iai，不妨设210a，则11112122121122111111'((1))nnnnnnnnnnaaaaaaaArraaaaaa这就化成了①的情形，结论也成立.综上，结论成立.（四）数学归纳法在二次型中的应用例10【7】【12】【14】数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122nnd