1-3函数的单调性与周期性

2021/3/132021/3/13第三节函数的单调性与最值2021/3/132021/3/13重点难点重点：①函数单调性的定义．②函数的最大(小)值．难点：①函数单调性的证明．②求复合函数单调区间．2021/3/13知识归纳一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2021/3/132．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2021/3/13(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数．2021/3/13二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)0，则1fx为减(增)函数，fx为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．2021/3/134．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2021/3/13三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．2021/3/13四、函数的最大(小)值：1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．2021/3/132．求法：(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．2021/3/13误区警示1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．2021/3/132．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域3．注意f(x)在区间A上单调增与f(x)的单调增区间为A的区别．2021/3/132021/3/13一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.2021/3/13t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增2021/3/13二、解题技巧1．给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件判断f(x1)－f(x2)的符号或fx1fx2与1的大小；判断奇偶性须设法产生f(－x)与f(x)的关系式等．判断单调性时，若关系式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数值的形式．2021/3/132．由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)f(x2)⇔x1x2(或x1x2)．2021/3/132021/3/13[例1]求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性．(1)y＝|x|(1－x)(2)y＝(13)x2－x(3)y＝log2(6＋x－2x2)求函数的单调区间2021/3/13解析：(1)∵f(x)＝|x|(1－x)＝－x2＋xx≥0x2－xx0，可得函数f(x)在区间(－∞，0]及[12，＋∞)上为减函数，在区间[0，12]上为增函数．2021/3/13(2)设t＝x2－x＝(x－12)2－14，∵t＝(x－12)2－14在(－∞，12]上为减函数，在[12，＋∞)上为增函数．又y＝(13)t在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝(13)x2－x的单调增区间为(－∞，12]，单调减区间为[12，＋∞)．2021/3/13(3)由6＋x－2x20，得－32x2，设t＝6＋x－2x2则y＝log2t；∵t＝－2x2＋x＋6＝－2(x－14)2＋498在(－32，14]上为增函数，在[14，2)上为减函数，又y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝log2(6＋x－2x2)的单调增区间为(－32，14]，单调减区间为[14，2)．2021/3/13(2010·天津模拟)函数y＝log12(－x2－2x＋3)的单调递增区间为________．2021/3/13解析：y＝log12u为单调减函数，由－x2－2x＋30得－3x1，∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4在(－1,1)上单调递减，∴y＝log12(－x2－2x＋3)在(－1,1)上单调递增，故填(－1,1)答案：(－1,1)2021/3/13[例2](文)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为()A.12B．2C．4D.14利用单调性求函数的值域或最值2021/3/13解析：解法1：对a分类讨论．若a1，x＝0时，y有最小值1；x＝1时，y有最大值a，由题设1＋a＝3，则a＝2.若0a1，x＝0时，y有最大值1；x＝1时，y有最小值a，由题设a＋1＝3，则a＝2，与0a1矛盾，故选B.2021/3/13解法2：当a0，a≠1时，y＝ax是定义域上的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个端点得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝2.答案：B点评：指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．2021/3/13(理)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为()A.14B.12C．2D．42021/3/13解析：a1时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；0a1时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值f(1)，最大值f(0)，据题设有：f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴a＝12.答案：B2021/3/13(文)函数f(x)＝2x－1的定义域为(－∞，1)∪[2,5)，则其值域为____________．2021/3/13解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，∴x－1∈(－∞，0)∪[1,4)，则2x－1∈(－∞，0)∪(12，2]．答案：(－∞，0)∪(12，2]2021/3/13(理)若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数，且有最小值－5B．增函数，且有最大值－5C．减函数，且有最小值－5D．减函数，且有最大值－52021/3/13解析：∵f(x)为奇函数，且在[3,7]上为增函数，∴f(x)在[－7，－3]上为增函数，∵f(x)在[3,7]上最大值为5，∴f(7)＝5，∴f(－7)＝－5.∴f(x)在[－7，－3]上的最小值为－5.答案：A2021/3/13[例3](2010·济南市模拟)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.54，则()A．y3y2y1B．y1y2y3C．y2y3y1D．y1y3y2利用单调性解证不等式及比较大小2021/3/13分析：y1与y2有相同指数13，可视作幂函数y＝x13，当x取0.4和0.5时对应的两个函数值，y2和y3有相同底数，可视作指数函数y＝0.5x当x取13和14时的两个函数值，故可用单调性求解．2021/3/13解析：∵y＝0.5x为减函数，∴0.5130.54，∵y＝x13在第一象限内是增函数，∴0.4130.513，∴y1y2y3，故选B.答案：B2021/3/13(文)已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(|1x|)f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2021/3/13解析：因为f(x)为减函数，f(|1x|)f(1)，所以|1x|1，则|x|1且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．答案：C2021/3/13(理)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)f13的x取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，232021/3/13解析：作出示意图可知：2021/3/13f(2x－1)f13⇔－132x－113，即13x23.故选A.答案：A2021/3/13[例4](文)(2011·福建长泰一中月考)函数f(x)＝－x＋3a，x0ax，x≥0(a0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[13，1)C．(0，13]D．(0，23]已知单调性求参数的值或取值范围2021/3/13分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)＝ax(x≥0)为减函数，可知0a1，又由f(x)在R上为减函数可知，f(x)在x0时的值恒大于f(x)在x≥0时的值，从而3a≥1.2021/3/13解析：∵f(x)在R上单调递减，∴0a1，3a≥1.∴13≤a1.答案：B2021/3/13(理)若函数f(x)＝3a－1x＋4ax1logaxx≥1，对任意x1≠x2，都有fx2－fx1x2－x10，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B.0，13C.17，1D.17，132021/3/13分析：由fx2－fx1x2－x10可知f(x)的单调性；利用其单调性结合f(x)在x1和x≥1上的表达式，可分别求得a的取值范围，再结合其单调性知，f(x)在(－∞，1)上的函数值，恒小(或大)于f(x)在[1，＋∞)上的函数值．2021/3/13解析：解法1：∵对任意x1≠x2都有fx2－fx1x2－x10，∴f(x)在R上为减函数．当x＝1时，logax＝0，若为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a0在x1时恒成立．令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则g(x)0在x1上恒成立，故3a－10且g(1)≥0，即3a－103a－1＋4a≥0⇒17≤a13，故选C.2021/3/13解法2：∵对任意x1≠x2都有fx2－fx1x2－x10，∴f(x)在R上为减函数．由y＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上单调递减知3a－10，∴a13，排除A、D.由f(1)＝0知，x1时f(x)0，∴3a－1＋4a≥0，∴a≥17.故选C.答案：C2021/3/13点评：f(x)在R上单调递减，a的取值不仅要保证(－∞，1)和[1，＋∞)上单调递减，还要保证x11，x2≥1时有f(x1)f(x2)．2021/3/13已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．2021/3/13解析：f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，则g(x)＝1－2ax＋2在(－2，＋∞)上为增函数，所以1－2a0，则a12.答案：(12，＋∞)2021/3/1