【高考复习方案】专题3-数列-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

第8讲等差数列、等比数列第9讲数列求和及数列的简单应用专题三数列第8讲等差数列、等比数列返回目录考点考向探究核心知识聚焦第8讲等差数列、等比数列体验高考返回目录核心知识聚焦1.[2014·广东卷改编]设数列{an}的前n项和为S①n，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15，则a1，a2，a3的值分别是________________．[答案]3，5，7[解析]依题意有S1＝a1＝2a2－3－4，S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，S3＝a1＋a2＋a3＝15，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.⇒数列关键词：表示方法、通项公式、前n项和，如①.主干知识第8讲等差数列、等比数列体验高考返回目录核心知识聚焦2.[2014·福建卷改编]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝②________.[答案]12⇒等差数列关键词：概念、通项、前n项和，如②③.主干知识[解析]设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋3×22d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.体验高考返回目录3.[2014·北京卷]若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和③最大．[答案]８[解析]∵a7＋a8＋a9＝3a80，a7＋a10＝a8＋a90，∴a80，a90，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大．第8讲等差数列、等比数列核心知识聚焦第8讲等差数列、等比数列体验高考返回目录4.[2013·新课标全国卷Ⅰ]若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式④是an＝________．[答案](－2)n－1⇒等比数列关键词：概念、通项、前n项和，如④⑤⑥.主干知识[解析]因为Sn＝23an＋13①，所以Sn－1＝23an－1＋13②，①－②得an＝23an－23an－1，即an＝－2an－1.又因为S1＝a1＝23a1＋13⇒a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.核心知识聚焦体验高考返回目录5.[2013·广东卷改编]若等比数列{an}满足a2a4＝12⑤，则a1a23a5＝________．[答案]14[解析]因为a1a5＝a2a4＝a23＝12，所以a1a23a5＝122＝14.第8讲等差数列、等比数列核心知识聚焦体验高考返回目录6.[2013·全国卷改编]已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和⑥等于________．[答案]3(1－3－10)第8讲等差数列、等比数列[解析]由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且an＋1an＝－13，所以数列{an}是公比为－13的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝4×1－－13101＋13＝3×1－1310＝3(1－3－10)．核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——知识必备数列、等差数列、等比数列第8讲等差数列、等比数列概念按照一定次序排列的一列数．分有穷、无穷、递增、递减、摆动、常数数列等通项公式数列{an}中的项用一个公式表示，an＝f(n)数列、等差数列、等比数列一般数列{an}前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋anan＝11,1,nnSnSSn，≥2返回目录第8讲等差数列、等比数列累加法an＋1＝an＋f(n)型累乘法an＋1＝anf(n)型转化法an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)⇔an＋1pn＋1＝anpn＋q数列、等差数列、等比数列简单的递推数列解法待定系数法an＋1＝can＋d(c≠0，1，d≠0)⇔an＋1＋λ＝c(an＋λ)，λ＝dc－1解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列(等差数列、等比数列)求解——教师知识必备——返回目录第8讲等差数列、等比数列概念满足an＋1－an＝d(常数)，d＞0递增、d＜0递减、d＝0常数数列通项公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)dam＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q(q∈N*)am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p(q∈N*)(公差不为0)数列、等差数列、等比数列等差数列{an}前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列——教师知识必备——返回目录第8讲等差数列、等比数列概念满足an＋1：an＝q(q≠0且q为常数)，单调性由a1的正负和q的值确定通项公式an＝a1qn－1＝amqn－maman＝apaq⇔m＋n＝p＋q(q∈N*)aman＝a2p⇔m＋n＝2p(q∈N*)(公比不等于1)数列、等差数列、等比数列等比数列{an}前n项和公式Sn＝11n1(1),1,11,1naqaaqqqqnaq公比不等于－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列注：表格中m，n，p均为正整数．——教师知识必备——返回目录►考点一数列数列的概念——数列、通项公式、前n项和数列的表示方法——列表、通项公式、递推公式等通项与前n项和的关系——通项与前n项和的关系的应用题型：选择、填空分值：4－14分难度：中等热点：数列的概念与表示方法，前n项和与通项关系的应用考点考向探究第8讲等差数列、等比数列返回目录例1(1)已知数列{an}的前5项分别为3，4，6，10，18，据此可写出数列{an}的一个通项公式为________．(2)设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S4＝5S2，数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1＝1，Tn＝n2bn，n∈N*.①求数列{an}，{bn}的通项公式；②设Cn＝(Sn＋1)(nbn－λ)，若数列{Cn}是递减数列，求实数λ的取值范围．考点考向探究第8讲等差数列、等比数列返回目录第8讲等差数列、等比数列(2)解：①由S4＝5S2，q0，得q＝2，则an＝2n－1.又Tn＝n2bn，Tn－1＝（n－1）2bn－1（n1）⇒bnbn－1＝n－1n＋1(n1)，所以bnbn－1·bn－1bn－2·bn－2bn－3·…·b2b1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13＝2n（n＋1），所以bn＝2n（n＋1），当n＝1时也满足，故bn＝2n（n＋1）.[解析]由已知可知数列{an}中，a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝4，a5－a4＝8，满足an＋1－an＝2n－1，又已知数列的前5项，所以对a1＝3，an＋1－an＝2n－1采用叠加法可得an＝(2n－2＋2n－3＋…＋20)＋3＝2n－1＋2.[答案](1)2n－1＋2考点考向探究返回目录第8讲等差数列、等比数列②由①知Sn＝2n－1，所以Cn＝2n2n＋1－λ.若数列{Cn}是递减数列，则Cn＋1－Cn＝2n4n＋2－2n＋1－λ0对n∈N*都成立，即4n＋2－2n＋1－λ0，所以λ4n＋2－2n＋1max.又4n＋2－2n＋1＝2n（n＋1）（n＋2）＝2n＋3＋2n，易知当n＝1或n＝2时，4n＋2－2n＋1max＝13，所以λ13.[小结]数列{an}后续项的规律可以是多样的，其通项公式可以不止一个．考点考向探究返回目录变式题已知数列{an}满足a1＝2，an＝an＋1－1an＋1＋1，其前n项积为Tn，则T2014＝()A．16B．－16C．6D．－6(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝()A．1B．9C．10D．55第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录第8讲等差数列、等比数列[解析]由an＝an＋1－1an＋1＋1可得an＋1＝1＋an1－an，所以a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，…，可知数列{an}的项具有周期性且周期为4，第一个周期内的四项之积为1.因为2014＝4×503＋2，且a2013＝a1＝2，a2014＝a2＝－3，所以数列{an}的前2014项之积为2×(－3)＝－6.(2)由题意S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.[答案](1)D(2)A考点考向探究返回目录►考点二等差数列等差数列——根据定义判断数列是否为等差数列通项公式、前n项和公式——1.求通项公式、前n项和；2.已知通项、前n项和的一些值求首项、公差等题型：选择、填空、解答分值：4－14分难度：中等热点：基本量求解，求通项、前n项和第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录例2(1)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9＝3a8，则S153a5＝()A．15B．17C．19D．21(2)已知数列{an}中，a1＝25，4an＋1＝4an－7(n∈N*)，若{an}的前n项和为Sn，则Sn的最大值为()A．15B．750C．7654D．7052第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录[解析](1)由S9＝a1＋a92×9＝2a52×9＝9a5＝3a8，得3a5＝a8.又S15＝a1＋a152×15＝15a8，所以S153a5＝15a8a8＝15.(2)方法一：由已知可知数列{an}为等差数列，公差为－74，故其通项公式为an＝25＋(n－1)×－74.由an≥0且an＋1＜0(n∈N*)，解得n＝15，即数列{an}的前15项均为正值，从16项开始为负值，(该数列中没有等于零的项)，故S15最大，S15＝15×25＋15×142×－74＝375－7354＝7654.第8讲等差数列、等比数列[答案](1)A(2)C考点考向探究返回目录方法二：由已知可知数列{an}为等差数列，公差d＝－74，所以Sn＝25n＋n（n－1）2×－74＝－78n2＋2078n＝－78220714n[phone]，由于n为正整数，故当n＝15时，Sn取得最大值，其最大值为S15＝－78×152＋2078×15＝7654.[小结]等差数列问题的根本是其“基本量”，即等差数列的首项和公差，解题时可以以此为着眼点思考问题的解决方向．在等差数列中要特别注意项的性质的应用，即m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，m＋n＝2p⇒am＋an＝2ap.第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录变式题(1)设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＋a2＋a5＋a8＝8，则S7＝()A．13B．14C．15D．16(2)已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是()A．(2，4)B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(4，＋∞)第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录[解析](1)因为a1＋a5＝2a3，a2＋a8＝2a5，所以由a1＋a2＋a5＋a8＝8，可得a3＋a5＝4，所以S7＝7（a1＋a7）2＝7（a3＋a5）2＝14.(2)a1＋a10＝a3＋a8＝4，由于数列{an}单调递增，所以a3＜a8，所以2a3＜a3＋a8＝4，所以a3＜2，所以a8＝4－a3＞2，即a8的取值范围是(2，＋∞)．[答案](1)B(2)C第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录►考点三等比数列等比数列——利用定义判断数列为等比数列通项公式、前n项和公式——1.求通项公式、前n项和；2.根据已知的项、前n项和等求未知的项、和，或求等比数列的基本量等题型：选择、填空分值：4－14分难度：中等热点：基本量求解，求通项、前n项和第8讲等差数列、等比数列考点考向探究返回目录例3(1)若公比为2且各项均为正数的等比数列{an}中，a4·a12＝64，则a7的值等于()A．2B．4C．8D．16(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝()A．4n－