1-4函数的奇偶性与周期性

2021/3/132021/3/13第四节函数的奇偶性与周期性2021/3/132021/3/13重点难点重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征．2．函数的周期性．难点：函数性质的综合应用．2021/3/13知识归纳一、函数的奇偶性1．奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝(或f(－x)＝)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．－f(x)f(x)2021/3/132．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．2021/3/13(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2021/3/13(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．2021/3/13二、函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．f(x)2021/3/13(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．2021/3/13误区警示判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．2021/3/132021/3/13一、方程的思想运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的．2021/3/13[例]设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)－g(x)＝12x，比较f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)入手．2021/3/13解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(－x)－g(－x)＝12－x，即－f(x)－g(x)＝2x.∴fx－gx＝2－x－fx－gx＝2x，∴fx＝2－x－2x2gx＝－2x＋2－x22021/3/13∴f(1)＝－34，g(0)＝－1，g(－2)＝－178，∴g(－2)g(0)f(1)．2021/3/13二、解题技巧1．判别函数奇偶性的方法(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．2021/3/13即若有：f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝－1)，则f(x)为奇函数．若有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝1)，则f(x)为偶函数．2021/3/13(2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．2021/3/132．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值．2021/3/132021/3/13[例1]判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(2－x)2＋x2－x.(2)f(x)＝x＋2x－10|x|≤1－x＋2x1.(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0且a≠1)．判断函数的奇偶性2021/3/13解析：(1)由2＋x2－x≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)x－1时，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．2021/3/13x1时，－x－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)．因此f(x)是偶函数．2021/3/13(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12(※)2021/3/13＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．2021/3/13点评：1.如何判断函数奇偶性：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．2021/3/13•2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观．(3)中到(※)后，验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些．2021/3/13(2010·广东理，3)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数2021/3/13解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．答案：B2021/3/13[例2]设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝______.分析：∵f(x)为奇函数，定义域为{x|x∈R且x≠0}，故对∀x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)，从而可取某个特殊值(例如x＝1)求解．已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围2021/3/13解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＝－1.答案：－12021/3/13(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．12021/3/13解析：法①：∵f(x)是奇函数且f(x)＝x2x＋1x－a＝x2x2＋1－2ax－a∴f(－x)＝－f(x)即－x2x2－1－2ax－a＝－x2x2＋1－2ax－a∴－(1－2a)＝1－2a，∴1－2a＝0，∴a＝12.2021/3/13法②：∵f(x)的分子是奇函数∴要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数∴1－2a＝0，∴a＝12.2021/3/13法③：∵f(x)为奇函数，且－12不在f(x)的定义域内，故12也不在f(x)的定义域内，∴12－a＝0，∴a＝12.2021/3/13法④：∴f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，∴a＝12.答案：A2021/3/13(理)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg2x1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.2021/3/13解析：∵f(x)＝lg2x1＋x＋a是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg2x1＋x＋a＋lg－2x1－x＋a＝lg2x1＋x＋a2xx－1＋a＝0.2021/3/13∴2x1＋x＋a2xx－1＋a＝1，∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴a2＋4a＋3＝0a2－1＝0，∴a＝－1.答案：－12021/3/13点评：①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．2021/3/13②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lga＋2x＋a1＋x为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－aa＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力.2021/3/13[例3]定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．函数奇偶性的应用2021/3/13分析：由f(x)为偶函数知f(－2)＝f(2)，故欲比较f(－2)、f(1)、f(3)的大小，只要弄清f(x)在[0，＋∞)上的单调性即可，由条件可知f(x)在(－∞，0]上的单调性，结合f(x)为偶函数可得f(x)在[0，＋∞)上的单调性．2021/3/13解析：由fx2－fx1x2－x10知f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(x)是偶函数，故f(x)在(0，＋∞]上单调递减，∵3210，∴f(3)f(2)f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(3)f(－2)f(1)．答案：f(3)f(－2)f(1)2021/3/13已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈[0,1)时，f(x)＝x2－1，则f(2012)的值为________．2021/3/13解析：f(2012)＝f(0＋2×1006)＝f(0)＝02＝02－1＝－1.答案：－12021/3/13[例4](2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．函数的周期性2021/3/13分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．2021/3/13解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.2021/3/13又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.2021/3/13(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)