第11课时：函数的周期性

Gothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！59课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.教材复习1周期函数：对于函数()yfx，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数()yfx为周期函数，称T为这个函数的一个周期.2最小正周期：如果在周期函数()fx的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫作()fx的最小正周期.基本知识方法1.周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；②fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；③1fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；④fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数；⑤1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.⑥1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.⑦1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.⑧函数()yfx满足()()faxfax（0a），若()fx为奇函数，则其周期为4Ta，若()fx为偶函数，则其周期为2Ta.⑨函数()yfxxR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；⑩函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数Gothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！60()fx是以2ba为周期的周期函数；⑾函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有()()fxTfx;二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.问题1．(06山东)已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，则(6)f的值为.A1.B0.C1.D2问题2．1(00上海)设()fx的最小正周期2T且()fx为偶函数，它在区间0,1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间1,2上,()fx2已知函数()fx是周期为2的函数，当11x时，2()1fxx，当1921x时，()fx的解析式是3xf是定义在R上的以2为周期的函数，对kZ，用kI表示区间21,21kk，已知当0xI时，2fxx，求xf在kI上的解析式。012xy21BAxGothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！61问题3．1（04福建）定义在R上的函数xf满足2xfxf，当5,3x时，42xxf，则.Asincos66ff；.Bsin1cos1ff；.C22cossin33ff.Dcos2sin2ff2（05天津文）设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，且()yfx的图像关于直线3x对称，则下面正确的结论是.A(1.5)(3.5)(6.5)fff.B(3.5)(1.5)(6.5)fff.C(6.5)(3.5)(1.5)fff.D(3.5)(6.5)(1.5)fff问题4．定义在R上的函数xf，对任意Rx，有yfxfyxfyxf2，且00f，1求证：10f；2判断xf的奇偶性；3若存在非零常数c,使02cf，①证明对任意Rx都有xfcxf成立；②函数xf是不是周期函数，为什么？Gothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！62问题5．（01全国）设()fx是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x对称，对任意的121,0,2xx，都有1212()()()fxxfxfx.1设(1)2f，求1()2f、1()4f；2证明：()fx是周期函数.3记nnfan212，求lim(ln)nna.Gothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！63课后作业：1.（2013榆林质检）若已知()fx是R上的奇函数，且满足(4)()fxfx，当0,2x时，2()2fxx，则(7)f等于.A2.B2.C98.D982.设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且11,2ffa，则.A2a.B2a.C1a.D1a3.函数()fx既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()fx在1,0上是减函数，那么()fx在2,3上是.A增函数.B减函数.C先增后减函数.D先减后增函数4.设1()1xfxx，记(){[()]}nnffxffffx个，则2007()fxGothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！645.已知定义在R上的函数()fx满足3()2fxfx，且23f，则(2014)f6.设偶函数()fx对任意xR，都有1(3)()fxfx，且当3,2x时，()2fxx，则(113.5)f.A27.B27.C15.D157.设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR，都有1()(1)1()fxfxfx，当0x≤1时，()2fxx，则(11.5)f.A1.B1.C12.D128.已知()fx是定义在R上的奇函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx.1求证：()fx是周期函数；2当[2,4]x时，求()fx的表达式；3计算(1)(2)(3)(2013)ffff.Gothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！659.（05朝阳模拟）已知函数()fx的图象关于点3,04对称，且满足3()()2fxfx，又(1)1f，(0)2f，求(1)(2)(3)fff…(2006)f的值走向高考：1.（05福建）)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f在区间0,6内解的个数的最小值是.A2.B3.C4.D52.（2012山东）定义在R上的函数()fx满足(6)()fxfx，当3≤1x时，2()2fxx，当1≤3x时，()fxx，则(1)(2)(3)(2012)ffff.A335.B338.C1678.D20123.(96全国)已知函数)(xf为R上的奇函数，且满足(2)()fxfx，当0≤1x时，()fxx，则(7.5)f等于.A0.5.B0.5.C1.5.D1.54.（06安徽）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15f，则5ffGothedistance不会学会，会的做对.Neversaydie！永不言弃！665.(06福建文）已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()lg.fxx设63(),(),52afbf5(),2cf则.Aabc.Bbac.Ccba.Dcab6.（04天津）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则53f的值为.A21.B21.C23.D237.（05天津）设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff8.★（05广东）设函数()fx在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0,7上，只有(1)(3)0ff．（Ⅰ）试判断函数()yfx的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0fx在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论.