【金版学案】2015-2016学年高中数学-1.3.1三角函数的周期性课件-苏教版必修4

1．3.1三角函数的周期性学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解周期函数的最小正周期的意义，会求简单函数的最小正周期．2．理解正弦函数，余弦函数的周期性的意义．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析利用周期函数的定义判断函数的周期性判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|的周期性．分析：根据周期函数的定义结合诱导公式判断之．解析：由于对任意的x∈R，有：f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)．∴f(x)＝2sin2x＋|cosx|是周期函数．方法指导：要理解周期函数的定义，重点是能利用定义判别有关三角函数的周期性．求下列函数的最小正周期：(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin3x，x∈R；(3)y＝2cos2x－π6，x∈R.分析：利用周期函数的定义结合y＝sinx与y＝cosx的最小正周期是2π的结论求解．解析：(1)∵3cos(x＋2π)＝3cosx，∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为2π.(2)∵sin3x＋23π＝sin(3x＋2π)＝sin3x，∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为2π3.(3)∵2cos2（x＋π）－π6＝2cos2x－π6，∴由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为π.◎规律总结：认识周期函数的定义，关键要认识到f(x＋T)＝f(x)中，T是相对于自变量x而言的，突出x＋T的函数值与x的函数值相等，T才是函数的周期．本题也可利用函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T＝2πω求之．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1．求下列函数的周期：(1)y＝cos2x＋sin2x；(2)y＝|sinx|＋|cosx|.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)f(x＋π)＝cos2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＋sin(2x＋2π)＝cos2x＋sin2x＝f(x)，∴f(x)的周期为π.(2)fx＋π2＝sinx＋π2＋cosx＋π2＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)的周期为π2.学习目标预习导学典例精析栏目链接证明函数的周期性求证：若对于非零常数m和任意的x，等式f(x＋m)＝1＋f（x）1－f（x）成立，则f(x)为周期函数．分析：问题给出了f(x＋m)与f(x)之间的函数关系，结合周期函数的定义，很自然的想法是f(x＋2m)与f(x)之间能否产生联系．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：f(x＋2m)＝1＋f（x＋m）1－f（x＋m）＝1＋1＋f（x）1－f（x）1－1＋f（x）1－f（x）＝－1f（x），∴f(x＋4m)＝－1f（x＋2m）＝f(x)．∴f(x)是以4m为周期的周期函数．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对于任意的x1，x2∈0，12，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．(1)设f(1)＝2，求f12，f14；(2)证明f(x)是周期函数．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：本题主要考查抽象函数的概念、偶函数的概念、函数图象对称的概念、函数周期的概念，同时考查运算和推理能力、综合运用知识的能力以及灵活运用知识的能力．(1)解析：由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈0，12，知f(x)＝fx2·fx2≥0，x∈[0，1]．∵f(1)＝f12＋12＝f12·f12＝f122，又f(1)＝2，∴f12＝2.∵f12＝f14＋14＝f14·f14＝f142＝212，∴f14＝214.(2)证明：依题意y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则有f(x)＝f(2－x)，x∈R.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，x∈R.∴f(－x)＝f(2－x)，x∈R.将上式中－x以x代换，则有f(x)＝f(x＋2)，x∈R.这说明f(x)在R上是周期函数，且2是它的周期．