2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第二章-第3讲-函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的奇偶性(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＋f(x)＝0]，则称f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称．f(－x)＝f(x)y(2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________[或f(－x)－f(x)＝0]，则称f(x)为偶函数．偶函数的图象关于______轴对称．注意：通常利用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．2．函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______．周期A．奇函数C．既是奇函数又是偶函数B．偶函数D．非奇非偶函数1．函数y＝1－x＋x－1是()2．(2015年广东江门一模)下列函数中，是奇函数的是(B．f(x)＝log2xD．f(x)＝sinx＋tanxA．f(x)＝2xC．f(x)＝sinx＋1D)DA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝－x对称D．直线y＝x对称3．函数f(x)＝1x－x的图象关于()CBA．2B．1C．－1D．－2解析：f12＝－f12＝－log212＝1.4．(2013年广东茂名一模)已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝log2x，则f12＝()考点1判断函数的奇偶性例1：(1)(2014年广东)下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12xB．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x答案：A解析：对于A选项中的函数f(x)＝2x－12x＝2x－2－x，函数定义域为R，f(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则该函数为奇函数；对于B选项中的函数g(x)＝x3sinx，g(－x)＝－x3sin(－x)＝x3sinx＝g(x)，则该函数为偶函数；对于C选项中的函数h(x)＝2cosx＋1，定义域为R，h(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝h(x)，则该函数为偶函数；对于D选项中的函数φ(x)＝x2＋2x，φ(1)＝3，φ(－1)＝32，则φ(－1)≠±φ(1)，则该函数为非奇非偶函数．故选A.(2)(2013年广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C(3)(2012年广东)下列函数为偶函数的是()答案：DA．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋1解析：y＝sinx是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝ex为非奇非偶函数．对于D项，由f(x)＝lnx2＋1，得f(－x)＝ln－x2＋1＝lnx2＋1＝f(x)，故y＝lnx2＋1是偶函数．(4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：∵g(x)是R上的奇函数，∴|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A.答案：A【规律方法】判断函数奇偶性的方法：①定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不对称,则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断,即若有f(－x)=－f(x)（或f(－x)+f(x)=0,()()fxfx=－1）,则f(x)为奇函数;若有f(－x)=f(x)(或f(－x)－f(x)=0,()()fxfx=1),则f(x)为偶函数；③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”；④抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断．②图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法；【互动探究】1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()BA．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．而g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．考点2利用奇偶性求函数值例2：若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：方法一：由函数f(x)为偶函数，得f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)·(－x－4)，∴x2+(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a.∴a－4＝4－a.∴a＝4.方法二：由题意知，f(－1)＝f(1)，∴(－1＋a)(－1－4)＝(1＋a)(1－4)．∴a＝4.答案：4【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用fx±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.【互动探究】2．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝____.－1解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＝－1.3.(2015年广东广州一模)已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f(2)的值为_______.1622mmx－－＋3考点3函数奇偶性与周期性的综合应用例3：(1)(2014年安徽)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.答案：516解析：由题意，得f(x＋4)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，则f294＋f416＝f4×2－34＋f4×2－76＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－341－34－sin76π＝－316＋12＝516.(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A．－12B．－14C.14D.12答案：A解析：f(x)是周期为2的奇函数，利用周期性和奇偶性，得f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.【规律方法】第(1)小题主要考查函数的奇偶性、周期性及分段函数,蕴含转换与化归思想,其实质就是要将294f+416f中的294与416利用奇偶性、周期性转换成［0，2］上的对应值,然后分别代入解析式即可第(2)小题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.关键是通过周期性和奇偶性把自变量-52转化到区间［0,1］上进行求值．【互动探究】4．(2014年新课标Ⅱ)已知偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.3解析：∵y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)＝3.又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝3.●易错、易混、易漏●⊙判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：2－x①y＝lg2＋x；②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．其中奇函数是__________，偶函数是__________．正解：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)，关于原点不对称，因此该函数为非奇非偶函数．答案：①②③【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致错．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要条件．