《解题研究》2015第9期

学大教育XUEDA．COM解题研究JournalofMathematicalProblemSolving第９期２０１４呼和浩特市学大教育解题研究(本刊由陕西师范大学罗增儒教授题写刊名)顾　　问罗增儒　　陕西师范大学彭翕成　　华中师范大学曹卫军　　呼和浩特学大教育主　　编齐建民　　呼和浩特学大教育执行主编宫前长　　甘肃省天水市第一中学责任编辑(按姓氏笔画为序)王　耀　　江苏苏州田家炳实验高级中学韦兴洲　　广西桂林恭城中学许永忠　　山东临沂第二中学李　勇　　呼和浩特学大教育何万程　　佛山凯尔资讯科技有限公司汪仁林　　陕西咸阳乾县杨汉中学张　平　　呼和浩特学大教育陈兆华　　江苏苏州市教育科学研究院陈泽桐　　广州大学数学与信息科学学院郑　良　　安徽灵璧第一中学高振敏　　呼和浩特学大教育蒋寿义　　武汉３６５图书工作室程汉波　　广州第二中学蔡玉书　　江苏苏州市第一中学—１—CONTENTS目　录高考风向标　１．一道高考解析几何试题的推广研究———蔡玉书1􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　２．２０１４年广东卷理科数学解几大题的研究———杨育池3􀆺􀆺􀆺　３．构造函数,破解高考压轴试题———江保兵7􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　４．“四招组合拳”破解一类不易分离参数的恒成立问题———靳小平10􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　５．从一道高考数列题的求解看分合思想———高用12􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　６．一类多元含参最值问题的研究———李剑峰15􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺竞赛园地　７．脱下“切线法”的外衣,巧证推广不等式———任后兵　郑俊明17􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　８．一道联赛题的八种解法———肖建平19􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　９．证明不等式的几个技巧———刘再平21􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１０．一道北方数学竞赛題的思考———安　宁25􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺自主招生之窗　１１．一个经典不等式题待定系数法的简化———黄其华27􀆺􀆺􀆺􀆺　１２．一个经典不等式的推广———罗　亮28􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺试题命制　１３．对一道职称考试数学题的思考———祝益锋31􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺教学管理　１４．有心圆锥曲线的一个性质及应用———徐文春34􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１５．几种方程组与方程的解法———李娇　谢贤祖36􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺教材解读　１６．平方差公式的三角扩展———彭翕成38􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１７．一道不等式问题的探源、证明与推广———程汉波　杨春波41􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　１８．三角形的内心和垂心性质的研究———罗文军43􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数苑广角　１９．对数列{(１＋１n)n＋α}非单调情形的研究———贺　斌黄福45􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺　２０．用柯西不等式能证明吗?———李　歆48􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学软件指南　２１．借助«几何画板»平台,演绎轨迹探求精彩———韦兴洲52􀆺􀆺一题多解　２２．一道高考习题的解法探究———罗　扬56􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺一道高考解析几何试题的推广研究———蔡玉书高考风向标一道高考解析几何试题的推广研究蔡玉书　江苏省苏州市第一中学　２１５００６２０１２年江西省高考数学理科试题２０:已知三点O(０,０),A(－２,１),B(２,１),曲线C上任意一点M(x,y)满足MA→＋MB→＝OM→􀅰OA→＋OB→()＋２．(１)求曲线C的方程;(２)点Q(x０,y０)(－２＜x０＜２)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(０,－１),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比．经研究,我们得到抛物线的一个重要性质:定理１　A,B为抛物线Γ:x２＝２py(p＞０)上的两个定点,且抛物线Γ在A,B两点处的切线交于点C,P是抛物线Γ上的动点,抛物线Γ在点P处的切线分别交直线CA与直线CB于点D,E两点,则△PAB的面积是△CDE面积的两倍．简单地,可以叙述为:抛物线上任意三条切线围成的三角形的面积对于三个切点所连成的三角形面积的一半．证明　设A(x１,x２１２p),B(x２,x２２２p),P(x３,x２３２p),则切线AC,BC,DE的方程分别为x１x＝p(y＋x２１２p),①x２x＝p(y＋x２２２p),②x３x＝p(y＋x２３２p),③由①②得C(x１＋x２２,x１x２２p),D(x３＋x１２,x３x１２p),E(x２＋x３２,x２x３２p),△PAB的面积S△PAB＝１２x１x２１２p１x２x２２２p１x３x２３２p１的绝对值＝１４p|(x１－x２)(x２－x３)(x３－x１)|,△CDE面积S△CDE＝１２x１＋x２２x１x２２p１x３＋x１２x３x１２p１x２＋x３２x２x３２p１的绝对值＝１８p|(x１－x２)(x２－x３)(x３－x１)|,所以△PAB的面积是△CDE面积的两倍．对于椭圆,我们有:定理２　已知C(m,n)为椭圆Γ:x２a２＋y２b２＝１外的一个定点,过C作直线CA,CB分别切椭圆Γ于A,B两点,P(x０,y０)是椭圆Γ上一点,—１—第９期(总第９期)解　题　研　究２０１４年１２月则S△PABS△CDE＝mx０a２＋ny０b２＋１m２a２＋n２b２．证明　设A(acosθ１,bsinθ１),B(acosθ２,bsinθ２),P(acosθ３,bsinθ３),则切线AC,BC,DE的方程分别为xcosθ１a＋ycosθ１b＝１,④xcosθ２a＋ycosθ２b＝１,⑤xcosθ３a＋ycosθ３b＝１,⑥由④⑤得C(acosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２bcosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２,),D(acosθ３＋θ１２cosθ３－θ１２,bcosθ３＋θ１２cosθ３－θ１２),E(acosθ２＋θ３２cosθ２－θ３２,bcosθ２＋θ３２cosθ２－θ３２)．△PAB的面积S△PAB＝１２acosθ１bsinθ１１acosθ２bsinθ２１acosθ３bsinθ３１的绝对值＝ab２cosθ１sinθ１１cosθ２sinθ２１cosθ３sinθ３１的绝对值而将行列式按第３列展开得到cosθ１sinθ１１cosθ２sinθ２１cosθ３sinθ３１＝sin(θ３－θ２)＋sin(θ２－θ１)＋sin(θ１－θ３)＝－４sinθ１－θ２２sinθ２－θ３２sinθ３－θ１２,△CDE面积S△CDE＝１２acosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２bacosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２１acosθ２＋θ３２cosθ２－θ３２bcosθ２＋θ３２cosθ２－θ３２１acosθ３＋θ１２cosθ３－θ１２bcosθ３＋θ１２cosθ３－θ１２１的绝对值＝ab２cosθ１－θ２２cosθ２－θ３２cosθ３－θ１２cosθ１＋θ２２sinθ１＋θ２２cosθ１－θ２２cosθ２＋θ３２sinθ２＋θ３２cosθ２－θ３２cosθ３＋θ１２sinθ３＋θ１２cosθ３－θ１２,将行列式按第３列展开得到cosθ１＋θ２２sinθ１＋θ２２cosθ１－θ２２cosθ２＋θ３２sinθ２＋θ３２cosθ２－θ３２cosθ３＋θ１２sinθ３＋θ１２cosθ３－θ１２＝cosθ１－θ２２sinθ１－θ２２＋cosθ２－θ３２—２—２０１４年广东卷理科数学解几大题的研究———杨育池高考风向标sinθ２－θ３２＋cosθ３－θ１２sinθ３－θ１２＝１２[sin(θ１－θ２)＋sin(θ２－θ３)＋sin(θ３－θ１)]＝２sinθ１－θ２２sinθ２－θ３２sinθ３－θ１２所以S△PABS△CDE＝２cosθ１－θ２２cosθ２－θ３２cosθ３－θ１２,mx０a２＋ny０b２＋１m２a２＋n２b２＝acosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２acosθ３a２＋bcosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２bsinθ３b２＋１acosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２æèççççöø÷÷÷÷２a２＋bcosθ１＋θ２２cosθ１－θ２２æèççççöø÷÷÷÷２b２＝cosθ１－θ２２[(cosθ１＋θ２２cosθ３＋sinsinθ３)＋cosθ１－θ２２]＝cosθ１－θ２２[(cosθ１＋θ２２－θ３)＋cosθ１－θ２２]＝２cosθ１－θ２２cosθ２－θ３２cosθ３－θ１２．综上,S△PABS△CDE＝mx０a２＋ny０b２＋１m２a２＋n２b２．对于双曲线,我们有定理３　已知C(m,n)为双曲线Γ:x２a２＋y２b２＝１外的一个定点,过C作直线CA,CB分别切双曲线Γ于A,B两点,P(x０,y０)是双曲线Γ上一点,则S△PABS△CDE＝mx０a２－ny０b２＋１m２a２－n２b２．证明留给读者．２０１４年广东卷理科数学解几大题的研究杨育池　浙江省象山中学　３１５７００２０１４年高考广东卷理科数学解析几何大题是一道陈题,与２００４年上海交大自主招生题:对于两条互相垂直的直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹．实质上形异质同,但深入研究,让人感觉平常而不平淡,其内涵丰富,宛若一杯陈坛香,既能体现良好的研究价值,同时也凸显丰富的知识价值和学习价值,愈品愈感受到它的醇香绵厚．题目　(２０１４年高考广东卷理科数学第２０题):已知椭圆C:x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０)的一个焦点为(５,０),离心率为５３．(１)求椭圆C的标准方程;(２)若动点P(x０,y０)为椭圆C外一点,且点P到椭圆的两条切线互相垂直,求点P的轨迹方程．问题(１)主要考查椭圆的简单几何性质等基础知识及方程思想的运用,由题设与椭圆特征量a,b,c之间的关系,即得半焦距c＝５,a＝３,b２＝a２－c２＝４,故椭圆C的标准方程为x２９＋y２４＝１．本文重点研—３—第９期(总第９期)解　题　研　究２０１４年１２月究椭圆x２a２＋y２b２＝１(a＞b＞０)正交切线的交点轨迹的求法及其拓展．１．切线正交蒙日圆,当时明月今犹在问题(２)解法灵活,在考查通用通法的同时,可多角度、多层次检测学生的创新意识与数学能力,较深入考查学生的运算求解、推理论证与数据处理能力．解法一(判别式法)　若其中一条切线的斜率不存在,因为两切线垂直,则另一条切线的斜率为０,故切点分别为椭圆长轴与短轴的顶点,即交点P的坐标为±a,±b();若两切线的斜率k１,k２都存在,则x０≠±a．设过点P的椭圆切线方程为y－y０＝k(x－x０)．由y－y０＝k(x－x０)x２a２＋y２b２＝１ìîíïïïï得(k２a２＋b２)x２＋２ka２(y０－kx０)x＋a２(y０－kx０)２－b２[]＝１,故Δ＝２ka２(y０－kx０)[]２－４(k２a２＋b２)􀅰a２(y０－kx０)２－b２[]＝０,化简得,(a２－x０２)k２＋２x０y０k＋b２－y０２＝０①;因为过点P的切线有两条,且互相垂直,故关于k的二次方程①有两不等实根k１,k２,因此,Δ＞０且k１k２＝b２－y０２a２－x０２＝－１,整理即得x０２＋y０２＝a２＋b２,且±a,±b()也满足此式．所以,点P的轨迹方程为x２＋y２＝a２＋b２．解法二(交轨法)　由两切线垂直,当一条切线的斜率不存在时,则点P的坐标为±a,±b(),故OP２＝a２＋b２．现考察一般情况,当两条切线的斜率均存在,则设切线PA:y＝kx＋m,PB:y＝－１kx＋n;联立两切线方程,解得交点Pn－m()kk２＋１,nk２＋mk２＋１æèçöø÷;将PA的方程代入椭圆方程,化简得１a２＋k２b２æèçöø÷x２＋２kmb２x＋m２b２－１æèçöø÷＝０,因为PA与椭圆相切,故Δ＝(２kma２)