必修四平面向量知识点与题型归纳总结

必修四平面向量知识点与题型归纳梳理平面向量的基本概念与线性运算知识点1平面向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)结合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb知识点2共线向量定理、平面向量基本定理及应用1．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．三、题型分析(一)关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）例1．给出下列四个命题：①若ab，则ab；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若ab，bc，则ac；④ab的充要条件是ab且//ab.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵ABDC，∴ABDC且//ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且//ABDC方向相同，因此ABDC.③正确.∵ab，∴ab，的长度相等且方向相同，又bc，∴,bc的长度相等且方向相同，∴,ac的长度相等且方向相同，故ac.④不正确.当//ab且方向相反时，即使ab，也不能得到ab，故ab且//ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件.【变式训练1】下列说法正确的是（）A．ABCD∥就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D．共线向量是在一条直线上的向量【解析】对于A，若AB∥CD，则AB，CD的方向相同或相反，AB所在的直线与CD所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选：C．【变式训练2】下列说法正确的个数是（）①两个有公共终点的向量是平行向量；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若ab，bc，则ac.A．1B．2C．3D．4【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故③正确；ab，则,ab的长度相等且方向相同；bc，则,bc的长度相等且方向相同，所以,ac的长度相等且方向相同，故ac，④正确.故选：B【变式训练3】下列说法正确的是（）A．与向量(0)ABAB共线的单位向量只有||ABABB．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量AB与向量BA是两平行向量D．单位向量都相等【解析】与向量0ABAB共线的单位向量有||ABAB，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.故选：C(二)平行向量与共线向量例2．梯形ABCD中，ABCD∥，2ABCD，M、N分别是BC和AB的中点，设ABa，NMb，则AD______.【解析】因为M、N分别是BC和AB的中点，所以12NMAC，NMAC，所以22ACNMb，因为ABCD∥，2ABCD，所以1122DCABa，所以ADACCDACDC122ab.故答案为：122ab.【变式训练1】．已知不共线的非零向量,ab，若2ab与2ab平行，则实数的值为__________．【解析】因为2 ab与2ab平行，所以22  abkab所以212kk，解得：4【变式训练2】．已知OAa，OBb，若13OCa，34ODb，且AD与BC交于E点，则OE=___________.(用a、b表示)【解析】因为,,DEA,三点共线,所以存在实数m使得3(1)(1)4OEmOAmODmamb;又,,BEC三点共线,所以存在实数n使得(1)131OEnOBnOCnbna,113314mnmn解得19m，所以11314123999abOEab，故填：1293ab.:【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→·AF→的最小值为________．【解析】如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝12，∴CD＝MN＝1.∴AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AB→＋BC→＋CF→)＝AB→2＋AB→·BC→＋AB→·CF→＋AB→·BE→＋BE→·BC→＋BE→·CF→＝1718＋29λ＋λ2≥1718＋219＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时等号成立，此时AE→·AF→有最小值2918.例3．已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足OPOAOB（,R）.（1）若P是BC的中点，求的值；（2）若A、B、P三点共线，求证：1.【解析】（1）由题意,111222OPOBBPOBBCOBAOOBOA,又OPOAOB,故1,12,即12.（2）A、B、P三点共线，设APtABtR,则1OPOAAPOAtABOAtAOOBtOAtOB,又OPOAOB,故1,tt,即1.【变式训练1】．已知1e，2e不共线，若2211()()eeekek，试确定k的值．【解析】∵12ee，不共线；∴120eke；又2211()()eeekek；∴存在实数，使1212keeeke；即1kk，解得1k.【变式训练2】．已知s、t是两个不平行的向量，ABst，28BCst，33CDst，试判断A、B、D的位置关系，并证明你的结论.【解析】由已知得2833555BDBCCDstststst，又因为ABst，所以5BDAB，所以//,BDAB又BDABB，所以A、B、D三点在一条直线上.故得解.得322.k，解得324.3k，所以43k.(三)向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）例4．（2019·湖北高三月考（文））在ABC中，,BDDCE是AD的中点，则EB=()A．2133ABACB．2133ABACC．3144ABACD．3144ABAC-【解析】在ABC中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，所以12EBABAEABAD，1131()2244ABABACABAC，故选D.【变式训练1】．如图，在ABC△中，,,ADBECF分别是BC,CA,AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（）A．23BGBEB．12DGAGC．2CGFGD．121332DAFCBCuuuruuuruuur【解析】G为三条中线的交点G为ABC的重心23BGBE，22CGGFFG，1122DGGAAG，可知,AC正确，B错误又121332DAFCDGGCDCBC，则D正确，本题正确选项：B【变式训练2】．已知DEF、、分别是ABC△的边BCCAAB、、的中点，且,BCaCAb，,ABc给出下列等式：①0;ADBECF②11;22CFab③11;22EFcb④12BEab其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）【解析】由题意，如图所示，因为,,BCaCAbABc，且0abcBCCAAB①中，11130222ADBECFcaabbabcc，所以是正确的；②中，由三角形法则，可得11112222CFbcbabab，所以是正确的；③中，因为,EF是边,ABAC的中点，则1111122222EFCBabcbc，所以不正确；④中，由三角形法则，可得12BEab，所以是正确的，综上可知，正确命题的序号为①②④.(四)向量的数乘与几何意义例5．若12232PPPP，且212PPPP，则等于（）A．23B．2C．23D．2【解析】因为12232PPPP，所以得到12232PPPP，所以得到21223PPPP，所以23.故选：A.【变式训练1】．若O是ABC△所在平面内一点，D为BC边的中点，且4OAOBOC0，那么（）A．ODAOB．2ODAOC．2ODAOD．ODAO【解析】如图，D为BC的中点，2,420,2OBOCODOAODODAO.故选C.【变式训练2】．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则OAOCOE（）A．0B．0C．AED．EA【解析】OAOCOB，OBOE0OAOCOEOBOE，本题正确选项：A四、迁移应用1．给出下列说法：①AB和BA的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④00；⑤ABCD.其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量;②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，0是一个向量，而0为一个数，应为||00；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD内有一点O满足0OAOBOCOD，则O点的位置是（）A．对角线的交点B．对边中点连线的交点C．BD的点D．AC的中点【解析】如图,点E、F分别为AB、CD的中点,2OAOBOE,2OCODOF0OAOBOCOD0OEOF,易得E、F共线,故选：B3.（2018·全国高考真题（理））在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）A．3144ABAC-B．1344ABAC-C．3144ABAC+D．1344ABAC+【解析】根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC，故选A.4.（2019·广东高三学业考试）如图，ABC△中，,ABaACb，4BCBD，用,ab表示AD，正确的是()A．1434ADabB．5414ADabC．3414ADabD．5414