-微分方程的基本概念

Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微积分电子教案2/31微积分十①引例一曲线通过点(1,2),且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求该曲线的方程。解：设所求曲线方程为：y=f(x)两边对x求积分：即y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即C=1故所求曲线为：y=x2+12,12yxxdxdy，且xdxdxdxdy2由题意得：3/31微积分十①定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程。2.1、微分方程)?(,---??,,---xyyx求未知的是一个函数微分方程求未知的是一个数代数方程方程4/31微积分十①定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程。如：2.1、微分方程未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程0)(22dyxydxyx53xyyyxyxdxdyxyyysin3xzyzxz2222未知函数是一元函数的微分方程常微分方程5/31微积分十①定义2微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y，y，…，y(n))=0一阶微分方程2.2、微分方程的阶xyyysin30)(22dyxydxyx53xyyyxyxdxdy6/31微积分十①2.3、微分方程的分类分类1:常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:分类3:线性(未知函数及其导数都是一次)非线性微分方程),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy7/31微积分十①定义3若将某函数及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解3.1、微分方程的解8/31微积分十①例1验证下列函数都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程.)3(;)2(;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey,)1(xCey,xCeyxCey∴是原方程的解.xCeyxxxCeCeCe2左边右边0代入原方程：,)2(xxeyxxxexxeey)1(xxxexexey)2()1(∴是原方程的解.xxeyxxxxeexex)1(2)2(左边右边09/31微积分十①例1验证下列函数都是微分方程y－2y+y=0的解.解:.)3(;)2(;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey代入原方程：,)3(21xxxeCeCyxxxxxxeCeCCxeCeCeCy221221)(xxxxxxxeCeCCxeCeCeCeCy2212221)2(∴是原方程的解.xxxeCeCy21xxxxxxxeCeCxeCeCCxeCeCC212212212)(2)2(左边右边0解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？10/31微积分十①⑴通解：微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。例1中：xxxeCeCy21xxeyxCey——通解——特解——既非通解，也非特解，是个解。0y——奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数11/31微积分十①⑴通解：微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件12/31微积分十①求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。xdxdy22,1yx时由2,yxC,1C求得.12xy所求曲线方程为微分方程微分方程的通解定解条件如引例求解得：微分方程的特解13/31微积分十①解的图像:微分方程的积分曲线.通解的图像:积分曲线族.3.3、微分方程解的几何意义过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.14/31微积分十①解,2cos22sin221tCtCdtdx,2sin42cos42122tCtCdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd例3验证:函数是微分方程的解.并求满足初始条件的特解.tCtCx2sin2cos210422xdtxd0,200ttdtdxx15/31微积分十①.0)2sin2cos(4)2sin2cos(42121tCtCtCtC.2sin2cos21是原方程的解故tCtCx所求特解为练习：xey23为微分方程的特解.0,200ttdtdxx0,221CCtx2cos2函数是微分方程的解吗？如是解，请问是什么解?xey2304yyBasicconceptofdifferentialequations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程17/31微积分十①⑴一般形式:F(x,y,y)=0⑵正规型:⑶微分型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如：下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。y=f(x,y)),(),(),(yxFyxgyxfdxdy18/31微积分十①⑴形式：即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边（或已分离开来）.⑵解法：直接积分。例1、求通解：解：两边积分故原方程的通解为：2.1、已分离变量的微分方程0)12(dydxxdxdydxx0)12(12Cyxx)(12CCCxxy0)()()()(21dyyfdxxfdyygdxxf或19/31微积分十①例2求通解：解：两边积分得：故原方程的通解为：结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.ydyxdxydyxdxCyx21212122Cyx2220/31微积分十①⑴形式：2.2、可分离变量的微分方程⑵解法：先分离变量，再两边积分即可。或)()(ygxfdxdy0)()()()(2211dyyNxMdxyNxMdxxfdyyg)()(1dxxfdyyg)()(10)()()()(1221dyyNyNdxxMxMdxdyyNyNdxxMxM0)()()()(122121/31微积分十①例3解微分方程解:先分离变量，再两边积分故原方程的通解为xydxdydxxdyy11dxxdyy111lnlnCxy1lnCxyCCxy221CexyCxCyxCy22/31微积分十①⑵若积分后出现对数,则可将任意常数写成lnC的形式,以利化简.说明:⑴在解微分方程时,对形如…积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；dxx1dyy1例3解题过程可简化为：先分离变量：再两边积分dxxdyy11CxylnlnlnxCylnlnxCy23/31微积分十①解：例4求方程满足初始条件y(1)=2的特解.分离变量积分得：故通解为:将x=1,y=2代入通解故所求特解为：得：C=10)1(122xxyyyyyxxdxdy221)1(1dxxxdyyy)1(1122dxxxx)11(2Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122222)1)(1(Cxyx22210)1)(1(xyx24/31微积分十①例5已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).解:依题意,得:pQQp02.0整理得：dpdQQ02.01积分得:CpQln02.0lnpCeQ02.0将p=0,Q=240代入,得:C=240故求需求函数为：peQ02.024025/31微积分十①例6设f(x)在(-∞，+∞)连续,且满足:求f(x).注：⑴积分方程求导后化为微分方程;⑵注意隐条件.xdttfxxf0)(2)(解：原方程对x求导：)(2)(xfxf即：yy2分离变量得：dxydy2两端积分得：Cxyln)2ln(22xxeCyeCy由原方程可知：f(0)=0代入通解C=2故)1(2)(xexf26/31微积分十①解：⑴∵f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故⑴是齐次函数,且是3次齐次函数;故⑵是齐次函数,且是0次齐次函数.⑴复习:证明函数⑴f(x,y)=50xy2;都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.yxyxyxf),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf3.1、齐次方程的引入27/31微积分十①3.2、齐次方程及其解法⑷解法：①化标准形式；②变量替换；③分离变量；④求通解；⑤回代。xyu⑵标准形式：⑶常见形式：如化为标准形式)(xyfdxdy⑴定义:微分方程中,若为0次齐次函数,则称该方程为齐次微分方程,简称为齐次方程.),(yxfdxdy),(yxf22yxyxdxdy2)(1xyxy28/31微积分十①⑴—关于y的微分方程代入原方程,得：⑵—关于u的微分方程分离变量,得：积分、整理得通解：回代得：是⑴的解。xdxuufdu)()(xyfdxdyxyu令uxy则dxduxudxdy)(ufdxduxuxdxuufdu)(Cxu)(Cxxy)(])([Cxxy29/31微积分十①解：分离变量得：例1.求微分方程的通解.代入原方程,得：两边积分得：故原方程的通解为：2)(1xyxydxdyxyu令uxy则dxduxudxdy21uudxduxuxdxudu21CxulnlnarcsinuCexarcsinxyCexarcsin30/31微积分十①例2.求的通解.分离变量得：解：原方程为：代入原方程,得：积分得:即通解为：xyu令uxy则dxduxudxdy12uudxduxuyxyyyx221)(2xyxydxdy1uudxduxxdxduuu1CxuulnlnlnCuxulnuCexuxyCey