电工电子技术9

1第九章逻辑代数与逻辑函数基本要求•掌握逻辑函数的变换和化简基本内容•基本逻辑运算•逻辑函数的变换与化简•逻辑函数的卡诺图化简•逻辑函数门电路的实现第九章逻辑代数29.1基本逻辑运算•数字电路输入、输出的逻辑关系可用逻辑函数描述。输入逻辑变量如A.B.C称为自变量，输出逻辑变量如F.G称为因变量，也就是逻辑函数。逻辑变量只有两种状态，取值为0或1。•研究逻辑关系的数学称为逻辑代数，基本运算符号有·(与)、+(或)、-(非)、=、（）。逻辑函数一般表达式F=f(A.B.C...)A.B.C.D...称为原变量，A.B...称为反变量，F称为反函数。如：F=ĀBC+A第九章逻辑代数31.变量与常数的计算公式：A·0=0A·1=AA+1=1A+0=A2.同一变量的计算公式：A·A=AA+A=AA·Ā=0A+Ā=1Ā=A3.交换律：A·B=B·AA+B=B+A4.结合律：A(B·C)=(A·B)C(A+B)+C=A+(B+C)5.分配律：A(B＋C)=AB＋ACA＋(BC)=(A＋B)(A＋C)6.吸收律：ĀB+A=A+BAB+ĀC+BC=AB+ĀC7.反演律(摩根定律)：AB=A+BA+B=AB一、基本公式第九章逻辑代数4二、运算规则1.优先顺序：()非与或2.代入规则：等式两边出现的同一个变量，在相同位置用同一个函数代之，则等式仍成立。例：已知D=A+B，所以，D+C=A+B+C=A+BC=ABC3.反演规律：求F函数的反函数F，只要将F式中·与+互换，0与1互换，原变量与反变量互换，其余符号和运算顺序不变。例：F=A+BC+D+EF=A·(B+C)·D·E第九章逻辑代数59.2逻辑函数的变换和化简一、逻辑函数变换和化简的意义•使用的逻辑门数量、种类、和连线最少。•常用的五种表达式与或表达式：F=AB+AC(先与再或)或与表达式：F=(A+B)(A+C)(先或再与)与非－与非表达式：F=ABAC(只有与非)或非－或非表达式：F=A+B+A+C(只有或非)与或非表达式：F=AB+AC(先与再或最后非)•利用逻辑运算可将同一函数变换为以上五个不同形式表达式。第九章逻辑代数/9.2逻辑函数的变换和化简6二、代数化简1.消去多余项：2.消去合并项：3.消去因子:4.添加项配项：例F=AB+ABC(E+F)例F=ABC+ABC例F=AB+AC+BC例F=AB+BC+BC+AB=AB=A(BC+BC)=A=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+AC第九章逻辑代数79.3逻辑函数卡诺图化简一.最小项在有A.B,C三个原变量的逻辑函数中，有8个乘积项：ABCABCABCABCABCABCABCABC,称为逻辑函数的最小项。特点：1.每个乘积项有三(变量总数）个因子；2.每个原(反)变量都可构成因子；3.乘积项中的原(反)变量只能出现一次，4.n个原变量的最小项有2n个。性质：对变量的任一取值，只有一个最小项为1；两个最小项之积为0；全部最小项之和为1。第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简8二.最小项(标准)表达式用最小项表示的逻辑函数称为最小项(标准)表达式，其表达式是唯一的。例：F=ABC+ABC+ABC最小项表达式还可简写为F=∑mi。式中mi表示最小项，下标i是最小项值为1时对应变量的十进制数值。上例可写为F（A,B,C）=m1+m6+m7=∑m(1,6,7)第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简9(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标，最小项的逻辑取值填入相应方格；(2)卡诺图方格外为输入变量及其相应逻辑取值，变量取值的排序不能改变；(3)相邻的2个方格称为逻辑相邻项，相邻项中只有1对变量互为反变量，而其余变量完全相同。三.卡诺图23BA010101BCA000111100211306574CDAB00011110000111102130657414131512109118二变量三变量四变量第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简/卡诺图10•真值表的每一行对应一个最小项，也对应卡诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出取值）填入卡诺图对应方格中。1.由真值表画出卡诺图2130657400101110BCA0001111001第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简/卡诺图11例：画出F=AB+C+ABC的卡诺图。2.由表达式画出卡诺图10011011解：先写标准表达式，再画卡诺图F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=∑m(7,6,4,2,0)也可直接画出卡诺图BCA0001111001BCA0001111001A=1B=1C=0C=0A=0B=110011011BCA0001111001第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简12四.卡诺图化简1.化简依据：•图中2=21个为1相邻项可以合并为1个与项，消去1个变量；•4=22个为1相邻项合并为1个与项，消去2个变量；•2K个为1相邻项合并为1个与项，消去K个变量。2.化简步骤•将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内1的个数满足2k，方格1可以重复使用,每个圈要有新1，圈完所有的1；•将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，独立1对应一个最小项；•相加所有与项得到最简与或表达式。第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简/卡诺图化简13例：用卡诺图化简下列函数：F1=ABC+ABC+ABC+ABCF2=ABC+ACD+ABCD+ABCBCA00011110011111F1=BF2=BD+BC+ACD1111111CDAB0001111000011110第九章逻辑代数/9.3逻辑函数卡诺图化简/卡诺图化简143.含有无关项的化简约束项(不允许或不会出现的最小项)和任意项(最小项可任意取值)统称为无关项。常用∑d表示。无关项在卡诺图中用×表示，既可看作1，也可看作0，视具体情况而定。例如：F=∑m(4,6,8,9,10,12,13,14)+∑d(0,2,5)CDAB0001111000011110205137151164141312109811111111F=D+AC×××00000第九章逻辑代数159.4逻辑函数门电路的实现•逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门电路来实现逻辑函数。•逻辑电路图由逻辑符号、电路符号构成。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接近于逻辑电路设计的工程实际。•由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也不同。第九章逻辑代数/9.4逻辑函数门电路的实现16例：已知电路输入A、B、C及输出F波形如图所示，（1）用与非门画出逻辑电路，（2）用或非门画出逻辑电路。解：1)标出图中对应逻辑值2)写出表达式并化简0000101011111101000000100100110110001010111101110000CABCABBCABBCABCABABCBCAF)(3)画出逻辑电路第九章逻辑代数/9.4逻辑函数门电路的实现17例:用逻辑门实现逻辑函数F=AB+AC+BC。解：可用3个与门和1个或门，连接成先“与”后“或”的逻辑电路。•若用4个与非门或4个或非门也可实现该逻辑运算第九章逻辑代数18课堂练习化简下列逻辑函数为最简与或函数式：F1=XYZ+XY+XYZF2=BC+AC+AB+BCDF3=ABC+ABC+ABC+ABC解：12341YZX00011110011111F1=∑(7,3,2,6)=YF3=∑(4,5,6,7)1111BCA0001111001F2=AC+BC=ACDAB000111100001111011111111第九章逻辑代数192CDAB000111100001111011111111求最简与或函数式并用与非门实现，画出逻辑图，输入不允许反变量。F(A,B,C,D)=∑m(0,2,3,6,7,8,14,15)解：F=BC+AC+BCD=BCACBCD&&&&ABCDF&&&&第九章逻辑代数20YZWX01111000011110111111用四个与非门实现逻辑函数，画出逻辑图，输入不允许反变量。F=WXZ+WYZ+XYZ+WXYZ，d=WYZ解：××F=XZ+XY=XZXY3&&&XYCF&第九章逻辑代数2111111用两个或非门实现逻辑函数，画出逻辑图。F=ABC+ABC+ABCD，d=ABC+ABD解：4××××F=BD+AB+BC=B+D+A+CACDF11BF=B+ACDF=B+ACD=B+A+C+D0000000CDAB0111100001111000=B(D+A+C)第九章逻辑代数221.逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，一个逻辑问题可用逻辑函数来描述。逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图和逻辑电路图表示。2.用真值表和最小项表达式表示的逻辑函数是唯一的。3.运用逻辑代数的基本运算可以对逻辑函数进行化简和变换。4.利用卡诺图可将逻辑函数化简为最简与或表达式。小结第九章逻辑代数239.19-39.29-1（5）（7）（9）（11）9.39-6(4)(6)9-7(6)(8)9.49-89-109-14作业