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第1页共4页第2页共4页安徽工程大学2017——2018学年第1学期(线性代数)课程期末考试试卷(B)卷考试时间120分钟,满分100分要求：闭卷[√],开卷[]；答题纸上答题[√],卷面上答题[](填入√)一、选择题(每小题3分，满分15分)1.已知A、B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，则下列各式中正确的是().（A）(A+B)2=A2+2AB+B2（B）AB=BA（C）(A+E)(A−2E)=(A−2E)(A+E)（D）(AB)2=A2B22.已知A、B为2阶方阵，则下列各式中不正确的是().（A）|AB|=|A||B|（B）|2A|=2|A|（C）|AT|=|A|（D）|AB|=|BA|3.已知α1，α2，α3为R3中向量，下列说法不正确的是().（A）若α1，α2，α3线性相关，则α1，α1+α2，α1+α2+α3线性相关（B）若α1，α2，α3线性无关，则α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关（C）α1，α2，2α1−α2线性相关（D）(1，0，0)T，(1，1，0)T,(1，1，1)T线性相关4．已知A为m×n矩阵，则非齐次方程Ax=b有无穷多解的充要条件是().（A）r(A)𝑛（B）r(A)=r(A|b)𝑛（C）r(A)=r(A|b)=n（D）r(A)𝑛,𝑟(A|b)=n5.已知x,y为内积空间V中向量，下列说法不正确的是().（A）若x⊥y,则‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2（B）若x⊥y,则‖x−y‖2=‖x‖2+‖y‖2（C）λ为任意实数，‖λx‖=λ‖x‖（D）|〈x,y〉|≤‖x‖‖y‖二、填空题（每空3分，满分15分）1.已知矩阵A=(1−2y−1x−32−42y)，且r(A)=1，则x=____,y=____.2.已知A为3阶方阵，A∗为其伴随矩阵，且|A|=2，则|A∗|=_____.3．齐次线性方程组{x1+x3=0x2−x4=0的解空间维数为______.4.已知矩阵(x110y1004)相似于对角矩阵(100020004)，则x2+y2=______.5.二次型f(x,y,z)=x2+2y2+2xy+4xz−2yz的矩阵为___________.出卷老师何俊审卷老师适用专业班级姓名班级学号第3页共4页第4页共4页三、计算题(每小题10分，满分60分)1.已知矩阵X满足XA=X+A，其中A=(001020002)，求X.2.计算行列式D=|a01−ab20−b3|.3.λ为何值时，齐次线性方程组{x1+3x2+5x3=02x1+x2=03x1+4x2+λx3=0有非零解，并求此时方程组的一般解.4.求矩阵A=(1−2−1221−442)的秩r(A)，以及列空间R(A)的一组基。5.已知L:R3⟶R3为一线性变换，{e1,e2,e3}为R3的标准基，且L(e1)=(1，0，1)T，L(e1+2e2)=(3，2，1)T，L(e1+e2+e3)=(2，2，2)T，求L的标准表示矩阵A.6.已知实对称矩阵A=(21112−11−12)，求正交矩阵U，使得U−1AU为对角阵.四、证明题(每小题5分，满分10分)1.证明集合S={(x,y,z)T|x+y+z=0}是R3的线性子空间.2.已知λ为矩阵A的特征值，α是属于λ的特征向量.证明：λ2为矩阵A2的特征值，α是属于λ2的特征向量.