6.3.1-平面向量基本定理-课件(2)2019新教材人教A版高中数学必修第二册

人教2019版必修第一册第六章平面向量6.3.1平面向量基本定理课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.自主预习，回答问题阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？•要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使基底的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底不共线向量a＝λ1e1＋λ2e2不共线知识清单[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量都可以作为基底．()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．()(3)零向量不可以作为基底中的向量．()×√√小试牛刀2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e2答案B3．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA→＝a，OB→＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR→等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a答案B4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.答案3例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④题型分析举一反三题型一正确理解向量基底的概念解析①AD→与AB→不共线；②DA→＝－BC→，则DA→与BC→共线；③CA→与DC→不共线；④OD→＝－OB→，则OD→与OB→共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．解题技巧(基底向量满足什么条件)1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e2＋e1解析∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．【跟踪训练1】答案：B题型二用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC―→＝a，BD―→＝b，试用基底a，b表示AB―→，BC―→.解析由题意知，AO―→＝OC―→＝12AC―→＝12a，BO―→＝OD―→＝12BD―→＝12b.所以AB―→＝AO―→＋OB―→＝AO―→－BO―→＝12a－12b，BC―→＝BO―→＋OC―→＝12a＋12b，解题技巧(用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且DCAB＝k，设AD―→＝e1，AB―→＝e2，以e1，e2为基底表示向量DC―→，BC―→，MN―→.解：法一：∵AB―→＝e2，DCAB＝k，∴DC―→＝kAB―→＝ke2.∵AB―→＋BC―→＋CD―→＋DA―→＝0，∴BC―→＝－AB―→－CD―→－DA―→＝－AB―→＋DC―→＋AD―→＝e1＋(k－1)e2.又MN―→＋NB―→＋BA―→＋AM―→＝0，且NB―→＝－12BC―→，AM―→＝12AD―→，∴MN―→＝－AM―→－BA―→－NB―→＝－12AD―→＋AB―→＋12BC―→＝k＋12e2.【跟踪训练2】法二：同法一得DC―→＝ke2，BC―→＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由MN―→＝12(MB―→＋MC―→)得MN―→＝12(MA―→＋AB―→＋MD―→＋DC―→)＝12(AB―→＋DC―→)＝k＋12e2.题型三平面向量基本定理的应用解析设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－3e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－3λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP―→＝45AM―→，BP―→＝35BN―→，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.解题技巧(平面基本定理应用时注意事项)若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．【跟踪训练3】1．在△ABC中，AD→＝13AB→，AE→＝14AC→，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.解析如图，取AE的三等分点M，使AM＝13AE，连接DM，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝14AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，CECM＝CPCD＝911，∴CP＝911CD，∴DP＝211CD，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)＝13AB→＋211－13AB→＋AC→＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b．