2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章-6.3.5-平面向量数量积的坐标

6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习目标1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.会用坐标表示两个平面向量的夹角.3.能用坐标表示平面向量垂直的充要条件.重点：向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的应用.1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们，即a·b＝向量垂直a⊥b⇔对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0知识梳理[点睛]公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―→|＝.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝.x2＋y2x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22例1一平面向量数量积的坐标运算1.已知向量的坐标求数量积常考题型已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a-b）·（2a+3b）.【解】方法一：因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3+2×4＝11，（a-b）·（2a+3b）＝2a2+a·b-3b2＝2|a|2+a·b-3|b|2＝2（12+22）+11-3（32+42）＝-54.方法二：因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3+2×4＝11.因为a-b＝（1，2）-（3，4）＝（-2，-2），2a+3b＝2（1，2）+3（3，4）＝（2×1+3×3，2×2+3×4）＝（11，16），所以（a-b）·（2a+3b）＝-2×11+（-2）×16＝-54.◆数量积运算的途径及注意点（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.训练题［2019·江西赣州南康区高三月考］已知a＝（1，3），b＝（3，-2），则2a·b＝（）A.12B.-3C.3D.-6D例22.建立坐标系求数量积［2019·黑龙江大庆实验中学高三模拟］如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上.若AB·AF＝2，则AE·BF的值为（）A.2B.2C.0D.1【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），E（2，1）.设F（x，2），则AB＝（2，0），AF＝（x，2）.∴AB·AF＝2x＝2，解得x＝1，∴F（1，2）.∴AE＝（2，1），BF＝（1-2，2），∴AE·BF＝2（1-2）+1×2＝2.【答案】A训练题［2019·河南安阳高三二模］如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若CE＝-7DE，3BF＝FC，则AF·BE＝（）A.11B.10C.-10D.-11D例33.求向量的正投影［2019·河北邢台高一期末］已知P1（0，5），P2（2，-1），P3（-1，4），则向量12PP在向量13PP方向上的投影是（）A.4B.210C.22D.105【解析】因为12PP＝（2，-6），13PP＝（-1，-1），12PP·13PP＝4，|13PP|＝2，所以|12PP|cosθ＝121313||PPPPPP＝42＝22（θ为12PP与13PP的夹角）.【答案】C训练题［2019·浙江宁波镇海区高一检测］已知a＝（4，3），b＝（5，-12），则向量a在b方向上的投影为（）A.-165B.165C.-1613D.1613C例4二向量的模的问题［2019·安徽定远高三一模］若a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a-b＝（3，2），则|2a-b|＝（）A.15B.17C.22D.25【解析】由已知得（a-b）2＝a2-2a·b+b2＝1-2a·b+4＝5，∴a·b＝0，∴（2a-b）2＝4a2-4a·b+b2＝4-0+4＝8，∴|2a-b|＝22.【答案】C◆求向量模的方法（1）利用公式|a|＝22xy求解；（2）利用数量积求解；（3）利用公式a2＝|a|2求解.训练题［2019·河南鹤壁高一检测］设平面向量a＝（1，2），b＝（-2，y），若a⊥b，则|a+b|＝（）A.5B.6C.2D.10D例5三向量的夹角问题［2019·广州高三一模］已知a＝（2，4），a-2b＝（0，8），则a，b夹角的余弦值等于（）A.-45B.-35C.35D.45【解析】∵a＝（2，4），a-2b＝（0，8），∴b＝12［a-（a-2b）］＝（1，-2），∴a·b＝2-8＝-6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a|·|b|·cosθ＝25·5·cosθ＝10cosθ，∴10cosθ＝-6，∴cosθ＝-35.【答案】B◆解决向量夹角问题的方法及注意事项设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.（1）先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝||||abab求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝121222221122xxyyxyxy直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意θ的取值范围是0，.（2）由于0≤θ≤π，利用cosθ＝||||abab来判断角θ时，要注意cosθ0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.训练题1.［2019·广东汕头高三一模］已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），c＝（k，-2），若（a-c）∥b，则向量a+b与向量c的夹角为（）A.6B.4C.3D.2［2019·安徽淮北杜集区高一月考］已知a＝（-2，-1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为（）A.-12，+∞B.122，∪（2，+∞）C.-∞，-12D.（-2，2）2.DB例6四向量垂直问题［2019·重庆高一检测］已知a＝（-2，1），b＝（3，m），若（2a+b）⊥b，则实数m的值为（）A.1或-3B.-3C.-1D.1或3【解析】∵2a+b＝（-1，2+m），（2a+b）⊥b，∴（2a+b）·b＝-3+（2+m）m＝0，解得m＝1或m＝-3.【答案】A［2018·广东汕头高一期末］已知a＝（5，m），b＝（2，-2），若（a-b）⊥b，则m＝（）A.-1B.1C.2D.-2［2019·山东菏泽高三一模］已知a＝（1，-1），b＝（-2，3），且a⊥（a+mb），则m＝（）A.25B.-25C.0D.15训练题1.2.BA例7五向量数量积的坐标运算的综合应用1.求最值及范围问题［2019·天津和平区高三二模］已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE＝2EC，AE·BD＝-23，则AF·EF的最小值为（）A.-23B.-43C.-15275D.-7336【解析】由题意知BE＝23BC.设∠DAB＝θ，∴AE·BD＝（AB+BE）·（AD-AB）＝AB·AD-2AB+23BC·AD-23BC·AB＝4cosθ-4+83-83cosθ＝-23，∴cosθ＝12，∴θ＝3.以AC与BD交点为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（-3，0），231,33E.设F（0，t），则AF＝（3，t），EF＝231,33t，∴AF·EF＝-2+13tt＝t2+13t-2.∴当t＝-16时，（AF·EF）min＝136-118-2＝-7336.【答案】D［2019·湖南岳阳一中高一检测］在平行四边形ABCD中，∠A＝3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足BMBC＝CNCD，则AM·AN的取值范围是.训练题5,2例82.向量与平面几何相结合［2019·广西钦州高一检测］已知点A（-2，0），B（1，9），C（m，n），O是原点.（1）若A，B，C三点共线，求m与n满足的关系式；（2）若△AOC的面积等于3，且AC⊥BC，求OC.【解】（1）由已知，得AB＝（3，9），AC＝（m+2，n）.由A，B，C三点共线，知AB∥AC，∴3n-9（m+2）＝0，即n-3m-6＝0.（2）由△AOC的面积是3，得12·2·|n|＝3，∴n＝±3.∵BC＝（m-1，n-9），且AC⊥BC，∴（m+2）（m-1）+（n-9）n＝0，即m2+n2+m-9n-2＝0，∴当n＝3时，m2+m-20＝0，解得m＝4或m＝-5，当n＝-3时，m2+m+34＝0，方程没有实数根，∴OC＝（4，3）或OC＝（-5，3）.［2019·山东德州高一检测］在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（-2，3），B（-4，-5），C（6，0）.（1）设a＝AB+（3-λ）AC，b＝3AB-2BC.若a∥b，求λ的值.（2）若AD是△ABC的边BC上的高，求点D的坐标.训练题解：（1）b＝3AB-2BC＝3AB-2（AC-AB）＝5AB-2AC，∵a∥b，且AB，AC不共线，∴5＝32，解得λ＝5.（2）设BD＝BC＝μ（10，5），则D（10μ-4，5μ-5），AD＝（10μ-2，5μ-8）.∵AD⊥BC，∴AD·BC＝10（10μ-2）+5（5μ-8）＝0，解得μ＝1225，∴41355D，.3.向量与三角函数结合例9［2019·北京通州区高一检测］点P（x，y）是函数f（x）＝32sinπx1522x，图象上的点，已知点Q（2，0），O为坐标原点，则OP·QP的取值范围是（）A.［-1，0］B.［-1，2］C.［0，3］D.［-1，3-1］【解析】∵点P（x，y）是函数f（x）＝32sin1522xx，图象上的点，∴y＝32sinπx，∴OP·QP＝（x，y）·（x-2，y）＝x（x-2）+y2＝x2-2x+232sinx＝34sin2πx+x2-2x＝34sin2πx+（x-1）2-1＝（x-1）2-58-38cos2πx.∵x∈15,22，∴当x＝1时，OP·QP有最小值-1，当x＝-12或x＝52时，OP·QP有最大值2.∴OP·QP的取值范围为［-1，2］.【答案】B【名师点拨】与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题.解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.◆数量积与三角函数综合应用的求解方法（1）坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关系，模长具有特殊性，如可以利用cos2α+sin2α＝1等.（2）将所给的向量的线性组合的模平方是常见的解题方法.［2019·江苏扬州高一检测］已知a＝（sinx，3），b＝（-cosx，4）.（1）若a∥b，求sincossin2cosxxxx的值；（2）若a·b＝373，x∈（0，π），求sinx-cosx的值.训练题解：（1）因为a∥b，a＝（sinx，3），b＝（-cosx，4），所以4sinx+3cosx＝0，即sinx＝-34cosx.显然cosx≠0，否则，若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x+cos2x＝1矛盾，所以2s