高中数学-2.2《直接证明与间接证明》课件1-新人教A版选修1-2

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(1).:..,,证明与间接证明直接证明方法我们将学习两类基本的本节加以证明辑推理的方式须通过逻数学结论的正确性必科学的显著特点这正是数学区别于其他是需要证明的确性合情推理所得结论的正我们知道直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法——综合法与分析法.,,用的思维方式也是解决数学问题时常法两种方是直接证明中最基本的综合法和分析法综合法1.abc4acbcba,0b,a:,,,2222求证已知例如结论通过推理推导出所要的义、公理、定理等出发某些数学定我们经常从已知条件和在数证明中.abc2cba,0a,bc2cb2222所以因为证明.abc2acb,0b,ac2ac2222所以又.abc4acbcba2222因此.methodlsynthetica,,,,这种证明方法叫做要证明的结论成立最后推导出所经过一系列的推理论证定理等学定义、公理、利用已知条件和某些数一般地综合法.,果法又叫顺推证法或由因导综合法:,Q,P表示为则综合法可用框图表示所要证明的结论等定义、公理、定理表示已知条件、已有的用条件结论推理论证条件定理公理定义PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ….ABCΔ,c,b,a,C,B,A,c,b,aC,B,A,ABCΔ1为等边三角形求证成等比数列成等差数列且对应的边分别为三个内角中在例;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是成等差数列将分析这是个隐含条的内角为,ABCΔC,B,A;πCBA,明确表示出来是件.acb,c,b,a2转化为符号语言就是成等比数列.,.,,,,为工具进行证明可以用余弦定理于是余弦定理正好满足要求状进而判断三角形的形系步寻找角和边之间的关那么就可以进一来如果能把角和边统一起此时.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明①.πCBA,ABCΔC,B,A所以的内角为因为②②①.3πB,得由③.acb,c,b,a2有成等比数列由④.accaBcosac2cab,22222可得由余弦定理及③,0ca,acacca,222即得再由④.CA.ca从而有因此⑤.ABCΔ.3πCBA,是等边三角形所以得由②③⑤.,.,,,出来表示把其中的隐含条件明显还要通过细致的分析形语言等或把符号语言转换成图转换成符号语言如把文字语言往往先作语言转换解决数学问题时例2如图所示，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R∈α，P、Q、R∈平面ABC则P、Q、R是两平面的交线例3在△ABC中，设AB=a,CA＝b求证：222)(|||(|21abbaSABC])(|||[|41])||||(1[||||41)cos1(||||41sin||||41||||cos,sin||||212222222222222bababababaCbaCbaSbabaCCbaSABCABC分析：利用向量的代数运算性质：a·b=|a||b|cosC以及三角形面积公式：S=－|a||b|sinC12证明：222)(|||(|21abbaSABCbc+caca+abab+bc=++222222abc+abc+abc=a+b+c.法1:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴++=bc+ca+ababc证为数例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证.111∴a+b+c++成立abc综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥(a＋b)22.③若a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别是ba＋ab≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.[证明]∵1a－11b－11c－1＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)abc≥2bc·2ac·2ababc＝8abcabc＝8，当且仅当a＝b＝c时等号成立，∴不等式成立.2abab只需证0只需证a+b-2ab2)0b只需证(a上式显然成立,因此原不等式成立.:,2abab证要证明),(2Rbaabba其中证明基本不等式引例思考：这种证明的方法有什么特点？一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件…2分析法(逆推证法、执果索因法)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：【分析法】要证只需证只需证显然成立所以结论成立格式：例已知a5，求：a-5-a-3a-2-a.证证明:要证只需证只需证只需证只需证因为成立.所以成立.a-5-a-3a-2-aa-5aa-2+a-3a(a-5)(a-2)(a-3)a(a-5)(a-2)(a-3)0606a-5-a-3a-2-a[例2]已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.[证明]∵a0，b0，要证ab＋ba≥a＋b成立，只需证ab＋ba2≥(a＋b)2成立，即证a2b＋b2a＋2ab≥a＋b＋2ab成立．即证a3＋b3ab≥a＋b.也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．即a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0成立．∵(a－b)2≥0恒成立，∴ab＋ba≥a＋b.ASBCEF3,,,..SAABCABBCASBEESCFAFSC例、已知平面过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为求证：SCEFSBAEABBC1.由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实的．没有分析就没有综合；没有综合也没有析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.,.,新认识你对这两种证明方法的说说回顾以往的数学学习它们各自的特点说出行比较请对综合法与分析法进思考综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式P→Q1→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→Q←Pn←...←P2←P1←P例3.已知)tan1(2tan1tan1tan1sincossin,sin2cossin),(2,22222＝求证：且zkk分析：证明式中没有θ，因此我们要将θ消掉，如何消掉θ？而且在条件中只有弦，而在证明结果里面只有切，因此我们要弦化切1.综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝)tan1(2tan1tan1tan12222＝（二倍角公式）2.分析法：)tan1(2tan1tan1tan12222＝2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝要证：只要证：2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β只要证：只要证：4sin2α-2sin2β＝1(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1只要证：这是三角函数的基本性质∴)tan1(2tan1tan1tan12222＝小结：1.分析法的概念；2.分析法的基本思路：执果索因；3.注意分析法的格式.