广义逆矩阵求解

本本本科科科生生生毕毕毕业业业论论论文文文题目:用初等变换法求一种广义逆矩阵姓名:陈晓龙学号:201105010349专业:数学与应用数学年级:20011级学院:数学与统计学院完成日期:2015年4月18日指导教师:徐景实（教授）本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。论文作者签名:日期:本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。论文作者签名:日期:指导教师签名:日期:I目目目录录录1引引引言言言22预预预备备备知知知识识识33用用用初初初等等等变变变换换换法法法求求求𝐴−5致致致谢谢谢12参参参考考考文文文献献献121用初等变换法求一种广义逆矩阵作者:陈晓龙指导教师:徐景实教授海南师范学院数学与统计学院，海口，571158。摘要:初等变换法是一种常见的矩阵运算方法，本文先对广义逆矩阵的定义进行了简单的叙述，然后对用初等变换法求一类广义逆矩阵进行了归纳与总结，并举出了一些实例。关键词:初等变换法；广义逆矩阵。SolvingaGeneralizedInverseMatrixbyElementaryTransformationAuthor:XiaolongChenTutor:ProfessorJingshiXu(SchoolofMathematicsandStatistics，HainanNormalUniversity，Haikou，571158)Abstract:ElementaryTransformationMethodisacommonmethodofMatrixOperation，Firstly，thispaperdescribedthedenitionofGeneralizedInverseMa-trix，thensummaryoftheMothedofUsingElementaryTransformationMethodinSolvingaGeneralizedInverseMatrix，andpresentssomeexamples.Keywords:Elementarytansformation，GeneralizedInverseMatrix.1引引引言言言世界上最早研究广义逆矩阵的数学家中，穆尔（Moore，E·H）是其中之一，并且，其因早在20世纪20年代便定义了矩阵的广义逆矩阵而闻名于世。20世纪50年代，彭诺斯（Penrose）利用四个方程再一次简单明了的定义了广义逆这个概念，并且，因其广义逆矩阵定义的鲜明性，而与穆尔的广义逆定义具有同等的价值意义。此后，广义逆矩阵理论发展得以更上一层楼，这是难能可贵的。50多年来，在诸多领域均有不可替代作用的广义逆矩阵理论越发受到人们的重视。如在数学领域里，对数理统计，数学规划都起到了推动作用，并在控制论、计量经济、系统理论、信号处理等方面有着深远的影响。如今，各个领域的发展都促使广义逆矩阵理论更加充实完善，并且它作为矩阵论的分支具有很高的存在价值。22预预预备备备知知知识识识定定定义义义1.1设A为m×n阶可逆矩阵，x为n×1向量，b为m×1常数向量，我们知道，如果m=n，有Ax=b(1)有唯一解，并且这个唯一解可以表示为x=𝐴−1b(2)但是，我们知道，有可能方程组（1）的A是不可逆的，也有可能不是方阵，但x有解。那么，在此情况下，是否可以用形如（2）的形式来表示（1）的解呢？由此就产生了广义逆矩阵这一概念。定定定义义义1.2给出下列四个方程：（1）AXA=A（2）XAX=X（3）(AX)𝐻=AX（4）(XA)𝐻=XA若∃𝑋∈𝐶𝑚×𝑛，且X满足上述任意条件（一个或者多个），则称X为A的一个广义逆矩阵。定定定义义义1.3一般的，若：（a）𝑋∈𝐶𝑚×𝑛满足方程（i），那么，记X=𝐴(𝑖),这里（i=1,2,3,4）；（b）𝑋∈𝐶𝑚×𝑛满足方程(i)，(j)，那么，记X=𝐴(𝑖,𝑗),这里（i，j=1,2,3,4）；（c）𝑋∈𝐶𝑚×𝑛满足方程(i)，(j)，(k)，那么，记X=𝐴(𝑖,𝑗,𝑘),这里（i，j，k=1,2,3,4）；（d）𝑋∈𝐶𝑚×𝑛满足方程(1)，(2)，(3)，(4)，那么，记X=𝐴(1,2,3,4)。值得一提的是，我们很容易得到，X=𝐴(1,2,3,4)是唯一确定的，（便于记忆，我们记𝐴+=𝐴(1,2,3,4)），其余的广义逆矩阵均不是唯一确定的的。因此，这里我们分别把满足(a)、(b)、(c)、(d)条件的所有广义逆矩阵集合记为𝐴{𝑖}，𝐴{𝑖,𝑗}，𝐴{𝑖,𝑗,𝑘}。引引引理理理1.1任意𝑋∈𝐶𝑚×𝑛，若X=𝐴(𝑖)，i=1，则称X是一个减号逆，或者g逆，记为𝐴−。3定定定理理理1.1任意𝐴∈𝐶𝑚×𝑛，他的秩为r，有PAQ=⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠其中，P和Q均可逆，且分别为m、n阶矩阵。那么，n×m阶矩阵X使得AXA=A的充要条件是X=Q⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠P其中，𝐺12，𝐺21，𝐺22分别是r×(m-r)，(n-r)×r，(n-r)×(m-r)阶任意矩阵。证明：必要性证明：由条件易得PAQ=⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠那么A=𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1根据X所满足的条件，AXA=A，有𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1X𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1=𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1X𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠=⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠此时，令𝑄−1X𝑃−1=⎛⎝𝐺11𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠带入上式，得⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠⎛⎝𝐺11𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠=⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠4⎛⎝𝐺11000⎞⎠=⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠所以，𝐺11=𝐸𝑟，于是有𝑄−1X𝑃−1=⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠此时，我们得到X=Q⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠P必要性得证。充分性证明：由于X=Q⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠P，A=𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1则有AXA=𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1Q⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠P𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1=𝑃−1⎛⎝𝐸𝑟000⎞⎠𝑄−1=A充分性得证。证毕。我们可以得知，任意的m×n阶矩阵A，其𝐴−必定存在，且𝐴−=Q⎛⎝𝐸𝑟𝐺12𝐺21𝐺22⎞⎠P由于𝐺12，𝐺21，𝐺22的任意性，可知，𝐴−并不唯一。3用用用初初初等等等变变变换换换法法法求求求𝐴−下面，我们来讨论如何用初等变换法求𝐴−。引引引理理理1.2设m×n阶矩阵A的秩等于r，对A做初等行、列变换后总可以把写成如下分块矩阵形式，即存在m阶以及n阶矩阵P、Q，使得5PAQ=⎛⎝𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4⎞⎠其中，𝐴1是r×r阶可逆矩阵，不难验证𝐴−=Q⎛⎝𝐴−11000⎞⎠P以下是几个实例。例例例1.试求矩阵A=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝102010102102⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠的一个广义逆矩阵𝐴−。解：⎛⎝𝐴𝐸4𝐸30⎞⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1021000010010010200101020001100000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝐶3−2𝐶1−−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100100001001001000010100000110−2000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑟3−𝑟1−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10010000100100000−1010100000110−2000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑟4−𝑟1−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10010000100100000−1010000−100110−2000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠由引理1.2可知𝐴−=Q⎛⎝𝐴−11000⎞⎠P我们已经得到6Q=⎛⎜⎜⎜⎝10−2010001⎞⎟⎟⎟⎠，P=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10000100−1010−1001⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠，𝐴−11=⎛⎜⎜⎜⎝100001000000⎞⎟⎟⎟⎠则有：𝐴−=⎛⎜⎜⎜⎝100001000000⎞⎟⎟⎟⎠例例例2.已知矩阵B=⎛⎜⎜⎜⎝210110111011⎞⎟⎟⎟⎠，求矩阵B的一个减号逆。解：⎛⎝𝐴𝐸3𝐸40⎞⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2101100101101010110011000000010000000100000001000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑟2←→𝑟1−−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1011010210110010110011000000010000000100000001000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝐶3−𝐶1−−−−→𝐶4−𝐶1⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100001021−2−1100100000110−1−1000010000000100000001000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝐶4+𝐶2−−−−→𝐶3+2𝐶2⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10000102100100100000110−1−1000012100000100000001000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠7𝑟2−2𝑟1−−−−→𝑟3−𝑟1⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100001001001−2000000−1110−1−1000012100000100000001000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠可知𝐵−=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10−1−1012100100001⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100010000000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝0101−200−11⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0101−20000000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠例例例3.已知矩阵A=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10001−110021−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠，求它的一个g逆。解：⎛⎝𝐴𝐸4𝐸30⎞⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100100001−10100100001021−10001100000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑟4−𝑟2−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100100001−1010010000102000−101100000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝑟3−𝑟1−−−−→𝑟4−2𝑟1⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100100001−10100000−1010000−2−101100000001000000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠𝐶3+𝐶2−−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10010000100100000−1010000−2−101100000001100000010000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠8可得Q=⎛⎜⎜⎜⎝100011001⎞⎟⎟⎟⎠，P=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝10000100−1010−2−101⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠，𝐴−11=⎛⎜⎜⎜⎝100001000000⎞⎟⎟⎟⎠𝐴−=Q⎛⎝𝐴−11000⎞⎠P=⎛⎜⎜⎜⎝100011001⎞