信号系统习题解答

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析...................................................2第2章习题解析...................................................6第3章习题解析..................................................16第4章习题解析..................................................23第5章习题解析..................................................31第6章习题解析..................................................41第7章习题解析..................................................49第8章习题解析..................................................55第1章习题解析1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c)(d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。1-2给定题1-2图示信号f(t)，试画出下列信号的波形。[提示：f(2t)表示将f(t)波形压缩，f(2t)表示将f(t)波形展宽。](a)2f(t)(b)f(2t)(c)f(2t)(d)f(t+1)题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。图p1-21-3如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(tiRtuRRttiLtuLLd)(d)(tCCiCtud)(1)(1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。SRSLSC题1-4图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x(t)，由于)()()()(tyatftx且)()(,d)()(tytxttxty故有)()()(taytfty即)()()(tftayty1-5已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解设T为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(tftfTty不失一般性，设f(t)=f1(t)+f2(t)，则)()()]([111tytftfT)()()]([222tytftfT故有)()()()]([21tytftftfT显然)()()()(2121tftftftf即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6判断下列方程所表示的系统的性质。(1)tfttfty0d)(d)(d)((2))()(3)()(tftytyty(3))(3)()(2tftytyt(4))()()]([2tftyty解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7试证明方程)()()(tftayty所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明不失一般性，设输入有两个分量，且)()()()(2211tytftytf，则有)()()(111tftayty)()()(222tftayty相加得)()()()()()(212211tftftaytytayty即)()()()()()(dd212121tftftytyatytyt可见)()()()(2121tytytftf即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8若有线性时不变系统的方程为)()()(tftayty若在非零f(t)作用下其响应ttye1)(，试求方程)()(2)()(tftftayty的响应。解因为f(t)ttye1)(，由线性关系，则)e1(2)(2)(2ttytf由线性系统的微分特性，有ttytfe)()(故响应ttttytftfe2e)e1(2)()()(2第2章习题解析2-1如图2-1所示系统，试以uC(t)为输出列出其微分方程。题2-1图解由图示，有tuCRuiddCCL又ttuuLi0CSLd)(1故CCCS)(1uCRuuuL从而得)(1)(1)(1)(SCCCtuLCtuLCtuRCtu2-2设有二阶系统方程0)(4)(4)(tytyty在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(yy试求零输入响应。解由特征方程2+4+4=0得1=2=2则零输入响应形式为tetAAty221zi)()(由于yzi(0+)=A1=12A1+A2=2所以A2=4故有0,)41()(2zitettyt2-3设有如下函数f(t)，试分别画出它们的波形。(a)f(t)=2(t1)2(t2)(b)f(t)=t[(t)(t)]解(a)和(b)的波形如图p2-3所示。图p2-32-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。题2-4图解(a)f(t)=(t)2(t1)+(t2)(b)f(t)=(t)+(tT)+(t2T)2-5试计算下列结果。(1)t(t1)(2)tttd)1((3)0d)()3πcos(ttt(4)003d)(ettt解(1)t(t1)=(t1)(2)1d)1(d)1(ttttt(3)21d)()3πcos(d)()3πcos(00ttttt(4)1d)(d)(ed)(e00003003tttttttt2-6设有题2-6图示信号f(t)，对(a)写出f(t)的表达式，对(b)写出f(t)的表达式，并分别画出它们的波形。题2-6图解(a)20,21tf(t)=(t2)，t=22(t4)，t=4(b)f(t)=2(t)(t1)(t3)+2(t4)图p2-62-7如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。题2-7图解由图(a)有RitutiL)(ddS即)(1ddStuLiLRti当uS(t)=(t)，则冲激响应)(e1)()(tLtithtLR则电压冲激响应)(e)(dd)()(LtLRttiLtuthtLR对于图(b)RC电路，有方程RuituCCSCdd即SCC11iCuRCu当iS=(t)时，则)(e1)()(CtCtuthRCt同时，电流)(e1)(ddCCtRCttuCiRCt2-8设有一阶系统方程)()()(3)(tftftyty试求其冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)。解因方程的特征根=3，故有)(e)(31ttxt当h(t)=(t)时，则冲激响应)(e2)()]()([)()(31tttttxtht阶跃响应)()e21(31d)()(30thtstt2-9试求下列卷积。(a)(t)*2(b)(t+3)*(t(c)tet(t)*(t)解(a)由(t)的特点，故(t)*2=2(b)按定义(t+3)*(t)=d)5()3(t考虑到3时，(+3)=0；t5时，(t=0，故(t+3)*(t=2,2d53ttt也可以利用迟延性质计算该卷积。因为(t)*(t)=t(t)f1(tt1)*f2(tt2)=f(tt1t2)故对本题，有(t+3)*(t=(t5)(t5)=(t2)(t2)两种方法结果一致。(c)tet(t)*(t)=[tet(t)]=(ettet)(t)2-10对图示信号，求f1(t)*f2(t)。题2-10图解(a)先借用阶跃信号表示f1(t)和f2(t)，即f1(t)=2(t2(t1)f2(t)=(t(t2)故f1(t)*f2(t)=[2(t2(t1)]*[(t(t2)]因为(t)*(t)=t0d1=t(t)故有f1(t)*f2(t)=2t(t2(t1)(t1)2(t2)(t2)+2(t3)(t3)读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。(b)根据(t)的特点，则f1(t)*f2(t)=f1(t)*[(t)+(t2)+(t+2)]=f1(t)+f1(t2)+f1(t+2)结果见图p2-10(b)所示。图p2-102-11试求下列卷积。(a))()()()e1(2tttt(b))](e[dd)(e3ttttt解(a)因为)()()()(tttt，故)()e1()()()e1()()()()e1(222ttttttttt(b)因为)()(ettt，故tttttttttt333e3)()()(e)](e[dd)(e2-12设有二阶系统方程)(4)(2)(3)(ttytyty试求零状态响应解因系统的特征方程为2+3+2=0解得特征根1=1，2=2故特征函数)()ee(ee)(2221ttxtttt零状态响应)()ee()(4)()(4)(22tttxttytt=)()4ee8(2ttt2-13如图系统，已知)()(),1()(21tthtth试求系统的冲激响应h(t)。题2-13图解由图关系，有)1()()1()()()()()()(1tttttthtftftx所以冲激响应)1()()()]1()([)()()()(2tttttthtxtyth即该系统输出一个方波。2-14如图系统，已知R1=R2=1，L=1H，C=1F。试求冲激响应uC(t)。题2-14图解由KCL和KVL，可得电路方程为)()(1)1()1(121C12C21CtLRRtRuLRRLuLCRRuC代入数据得)()(22CCCttuuu特征根1,21j1故冲激响应uC(t)为)]()([*)ee()(11Ctttutλtλ)(sine)()sin(cosetttttttV)(cosettt2-15一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f(t)=(t)时，全响应y1(t)=3e3t(t)；当输入f(t)=(t)时，全响应y2(t)=e3t(t)，试求该系统的冲激响应h(t)。解因为零状态响应(t)s(t)，(t)s(t)故有y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e3t(t)y2(t)=yzi(t)s(t)=e3t(t)从而有y1(t)y2(t)=2s(t)=2e3t(t)即s(t)=e3t(t)故冲激响应h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)2-16若系统的零状态响应y(t)=f(t)*h(t)试证明：(1)thttfthtfd)(d)(d)()((2)利用(1)的结果，证明阶跃响应thtsd)()(证（1）因为y(t)=f(t)h(t)由微分性质，有y(t)=f(t)h(t)再由积分性质，有thtftyd)()()(（2）因为s(t)=(t)h(t)由（1）的结果，得thttsd)()()(thtd)