《正弦定理》教学设计

1《正弦定理》教学设计2010级数学课程与教学论专业华娜学号201002101146一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：21、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要建多长的索道？可将问题数学符号化，抽象成数学图形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？此题可运用做辅助线BC边上的高来间接求解得出。提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？2、归纳命题我们从特殊的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系：归纳命题命题证明命题应用形成命题域、命题系AC4503001500？问题情境问题开放化问题现实化问题特殊化问题变式化B3在如图Rt三角形ABC中，根据正弦函数的定义sin,aAcsin.bBc所以，.sinsinabcAB又sin1,C所以.sinsinsinabcABC在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？3、命题证明首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构造出直角三角形——作高线。abDCBA作AB上的高CD,根据三角函数的定义，sin,CDaBsin,CDbA所以，sinsin.aBbA同理，在ABC中，.sinsinbcBCACBabc4于是在锐角三角形中，sinsinsinabcABC也成立。当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？bcaDCAB由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。于是，从以上的讨论和探究，得出定理：正弦定理（lawsofsines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去感受数学的间接美和对称美。正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。我们把三角形的三边和三个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，如果已知三角形的两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。4、命题应用讲解书本上两个例题：例1在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精确到10，边长精确到1cm）。例1简单，结果为唯一解。总结：如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。接着回到课堂引入未解决的实际问题。在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？5ACB在已经学习过正弦定理和例1例2的运用之后，此题就显得非常简单。接着，课堂练习，让学习自己运用正弦定理解题。1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。5、形成命题域、命题系开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。那么正弦定理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法（1）几何法，作三角形的外接圆；（2）向量法。先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出2sinsinsinabcRABC。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的2倍的结论，让学生能更深刻地理解到这一定理的，也方便以后的解题。而提到的向量法，则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。六、课堂小结与反思这节课我们学到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定理的证明方法？）1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、证明得到了正弦定理sinsinsinabcABC，它揭示了任意三角形边和其所对的角的正弦值的关系。2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第6二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通过作外接圆可以得到2.sinsinsinabcRABC这是对正弦定理的补充。七、作业布置教材第10页，习题1.1，A组第一题、第二题。