17.1--勾股定理(第2课时)

17.1勾股定理(第2课时)1.能利用勾股定理解决实际问题.2.理解立体图形中两点距离最短问题.勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方．abcABC如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么222.abcc2=a2+b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8AC练习30°2245°回答：①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．1m2mACBD2222125mACABBC在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：一个门框尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？例1:有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD2222ACABBC5050500071(dm)解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC=50dm,∴由勾股定理可知：【活动】如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A,B两点间的距离吗？（结果保留整数）例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？ABCDE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2＝AB2，即2.42+BC2＝2.52，∴BC＝0.7m.由题意得：DE＝AB＝2.5m，DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2(m).在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°,∴DC2+CE2＝DE2，即22+CE2＝2.52,∴CE＝1.5m,∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.答：梯子底端B不是外移0.4m.练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）BDCOA例3：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510例4:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？DABC解:设水池的深度AC为X尺,则芦苇高AD为(X+1)尺.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(尺)答:水池的深度为12尺,芦苇的长度为13尺.例5:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=10.10108∵∠B=90°，∴AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.∵∠C=90°，∴CE2+CF2＝EF2，(8－X)2+42=X2，64－16X+X2+16=X2，80－16X=0，16X=80X=5在RtADE中，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2，∴AE2=102+52=125,∴AE=125=55.例6：如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.A.3B.C.2D.1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B5【活动】（1）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，容易得出S1，S2，S3之间的关系为．S3S2S1BAC123SSS（2）变式：你还能求出S1，S2，S3之间的关系式吗？S1S2S31．在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)已知:a=5,b=12,求c.(2)已知:b=6,c=10,求a.(3)已知:a=7,c=25,求b.2.一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．3.如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米94.一架长为5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移_____.5.如图，要在高为3m,斜坡为5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需________m6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3ABC17B7．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。158.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X－1)米.根据题意得:32+(X－1)2=X29+X2－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿长5米.本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用,关键是将实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活.——托尔斯泰