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补充讲义量子力学初步补充讲义量子力学初步内容提要内容提要1光的波粒二象性1光的波粒象性2微观粒子的波粒二象性3波函数的统计诠释4薛定谔方程4薛定谔方程5一维无限深势阱6线性谐振子7力学量的算符表示7力学量的算符表示21光的波粒二象性★光的干涉、衍射、偏阵现象，说明光具有波动性；光电效应、康普顿效应、黑体辐射现象，说明光又具有微粒性。应、康普顿效应、黑体辐射现象，说明光又具有微粒性。★按照相对论原理，能量与质量相联系，物质具有一定数量的能量就有相应的定数量的质量即E2的能量，就有相应的一定数量的质量，即：E=mc2.Ehν=22EhEhmccνν==2cchhhPmcchkννλ==×===2cckλ−波数，单位距离中的波数。31光的波粒二象性νhE=h描述光的描述光的λhp=粒子性波动性描述光子粒子性的量(E和P)与描述光的波动性的量(ν和λ)通过普朗克常数联系在一起。过普朗克常数联系在起。光既有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性。光既有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性。一般来说，光在传播过程中，波动性表现显著，当光与物质相互作用时，粒子性表现显著，光所表现的这与物质相互作用时，粒子性表现显著，光所表现的这两重性质，反映了光的本质。4法国物理学家德布罗意（Li法国物理学家德布罗意（LouisVictordeBroglie1892–1987)思想方法自然界在许多方面都是明显地对称的他采用类比的是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设.“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于‘粒子’的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”5图象呢？2微观粒子的波粒二象性★德布罗意波在光的二象性的启发下，提出了与光的二象性完全对称的设想，即实物粒子（如电子、质子等）也具有波完设实粒质等具有波-粒二象性的假设。德布罗意指出任何物体都伴随以波不可能将物体的运德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分开。这种同实物粒子联系的波称为德布罗意波（物质波）德布罗意还给出了动量为P的粒子所伴随波波（物质波）。德布罗意还给出了动量为P的粒子所伴随波的波长λ与P的关系式，hhhhPmλ=＝vTheNobelPrizein这就是著名的德布罗意关系式。Physics192962微观粒子的波粒二象性德布罗意关系式的实验验证•戴维孙－革末实验戴维孙革末实•电子枪发射电子，加速后形成电子束，打在晶体上。电子探测器用以接收不同角度散射出来的电子。电的波加电电•电子的波长决定于加速电压，电子加速后，它的动能12meV=2v22eVv=m7m2微观粒子的波粒二象性＝2eVvm1012.2510hmhmλ−==≈×hhPmλ=＝v1022mmeVmeVVλ==≈×电子如果有波动性，电子束射在晶体上就像光一样发生散射，现在考虑电子波射在原子构成现在考虑电子波射在原子构成的一组平行面上，入设波与平面夹角为θ，如果沿θ角方向有面夹角为θ，如果沿θ角方向有强出射波，二相邻平面衍射波应有相同的相位，两光束波程差应等于波长整数倍。2ndsinλθ=82ndsinλθ2微观粒子的波粒二象性电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。戴维孙和革末共同获得1937年诺贝尔物理学奖。1927年英国物理学家G.P.汤姆孙独立地从实验中观察到电子透过多晶薄片时的衍射现象。如图所示，电子从灯丝K逸出，透过多晶薄片时的衍射现象。如图所示，电子从灯丝K逸出，经过加速电压为U的电场，再经过小孔D，成为一束很细的电子束，当电子束穿过一多晶薄片M（铝箔）后，射到照相底片P上，形成如图衍射图样。电子束透过多晶铝箔的衍射DP电子束透过多晶铝箔的衍射K9UM2微观粒子的波粒二象性证实电子波动性的最直观的实验是电子通过狭缝的衍射实验，但要将狭缝做得极细是很困难的，直到1961年，约恩孙（C.Jnn）才制出长为50μm宽为03μm缝间距为10μmJonsson）才制出长为50μm，宽为0.3μm，缝间距为1.0μm的多缝，用50kV的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝……五缝，均可得到衍射图样。下图是电子能过双缝、双缝……五缝，均可得到衍射图样。下图是电子能过双缝的衍射图样，这个图样与可见光通过双缝的衍射图样十分相似。电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象10单缝衍射双缝衍射三缝衍射四缝衍射2微观粒子的波粒二象性钨晶体薄片对电子的衍射NaCl晶体的中子衍射112微观粒子的波粒二象性随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具有波动性德布罗意假设被大量事实证实为都具有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，为此获1929年诺贝尔物理奖。德布罗意波波长的数量级地球:k10985241k829−子弹:kg1098.5240×=m1skm8.29⋅=vh=λkg01.00=m1sm300−⋅=vm1021.234−×==hλv0mm1072.310982109851063.66342434−−×=××××=0vm宏观物质的德波罗意波长均121098.21098.5×××宏观物质的德波罗意波长太小，难以观察其波动特性.2微观粒子的波粒二象性不确定关系：在经典力学中一个质点的位置和动量可以同时精确测定在在经典力学中，一个质点的位置和动量可以同时精确测定。在量子力学中，要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度有一定限制。海森伯提出，测量一个微粒的位置时，如果不确定定限制。海森伯提出，测量个微粒的位置时，如果不确定范围是Δq，那么同时测得其动量也有一个不确定范围ΔP，它们的乘积满足下式：不确定关系h≥ΔΔpx2≥ΔΔxpx这个规律来源于物质具有的波粒二象性。132微观粒子的波粒二象性不确定关系：不确定关系表明如果把粒子的动量非常精密地测定即0Δ→p不确定关系表明，如果把粒子的动量非常精密地测定，即那么位置就非常不确定，即；反之，要位置精确测定，动量就非常不确定。0Δ→pΔ→∞q动量就非常不确定时间和能量的不确定关系:一个体系处于某一状态，如果时间有一段不确定那么它的能量也有一个范围不确定二者ΔtΔE一段不确定，那么它的能量也有一个范围不确定，二者的乘积有如下关系：ΔtΔEEtΔΔ≥h2EtΔΔ≥实际能级都不是单一的而是有一定的宽度ΔE即电子处于某能级时实实际能级都不是单的，而是有定的宽度ΔE,即电子处于某能级时，实际能量有一不确定的范围ΔE，在同类大量原子中，停留在相同能级的电子有的停留时间长，有的短，可以用一个平均寿命Δt表示,根据ΔEΔt的不确定关系Δt长的ΔE小即平均寿命长的能级它的宽度小能级稳定反之亦然14系，Δt长的ΔE小，即平均寿命长的能级，它的宽度小，能级稳定，反之亦然。3波函数的统计诠释德布罗意引入物质波，物质波需用波函数Ψ(r¸t)描述。物质波的波函数代表什么物理意义?1926年玻恩提出波函数的几率解释他指出波函数的平方代表在单位体积中发现一个粒子解释。他指出波函数的平方代表在单位体积中发现一个粒子的几率。这个假设得到散射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。屏电子束金箔电子枪金箔电子一个一个地通过单缝长时间积累后也出现衍射图样波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比，它是大量粒子形成总分布的一种统计规律.波函数乃是概率波.153波函数的统计诠释在光的衍射实验中，摄像记录弱光入射的几个不同曝光阶段的衍射图样，并进行比较，可以发现，在衍射图样中较亮的地方，光子出现的概率较大。孔衍射像16单缝衍射像圆孔衍射像3波函数的统计诠释波函数必须满足的条件:2*Ψψψ=其中为的共轭复数*ΨΨ①标准条件单值性连续性有性其中为的共轭复数ΨΨ我们把在体积dτ中发现一个②归一化条件(normalizing单值性、连续性、有限性粒子的几率表达为*ddωψψτ1dΨ2=∫V②归化条件(normalizingcondition)ddωψψτ=代表在单位体积内发现一个*ψψ粒子在整个空间出现的概率1dΨ=∫VV代表在单位体积内发现一个粒子的几率，称为几率密度，这就是德布罗意波函数的物理意义。ψψ为1.是德布罗意波函数的物理意义。174薛定谔方程自由粒子的波函数：()EtrpiAt−⋅h)(Aetr=h),(ψ以能量算符和动量算符：以能量算符和动量算符：tiE∂∂=h∇=hip⎟⎟⎞⎜⎜⎛∂+∂+∂=∇zyx000t∂p⎟⎟⎠⎜⎜⎝∂∂∂zyyx代入到能量与动量关系中pE2代入到能量与动量关系中，mpE2=得到自由粒子的薛定谔方程),(2),(22trΨmtrΨti∇−=∂∂hh184薛定谔方程对于势场中的粒子，其能量为：2p)(2rVmpE+=222pψψ∇h＝-∂)()()()(22trΨrVtrΨtrΨi+∇∂hhEtψψ∂∂h＝i),()(),(2),(trΨrVtrΨmtrΨti+∇−=∂h这是薛定谔一般方程，是描述一个在力场中的粒子的微分方程。194薛定谔方程设薛定谔方程中的V只是坐标的函数，与时间无关，那么它★定态：能量不随时间变化的状态。设薛定谔方程中的V只是坐标的函数，与时间无关，那么它的解可以表达为坐标函数和时间函数的乘积：)()()(tfrtrΨψ=将上式代入到薛定谔方程中，有)()(),(tfrtrΨψ=ErrVrmrdttdftfi=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇−=)()()(2)(1)()(22ψψψhhmrdttf⎦⎣2)()(ψ得到：hiEtCetf−=)(因而hiEtertrΨ−=)(),(ψ得到f)()(),(ψ)()()()(22rErrVrψψψ=+∇−h和定态的薛定谔方程20)()()()(2mψψψ定态的薛定谔方程5一维无限深势阱（1）势函数（1）势函数⎨⎧=00)(axxVV(x)⎩⎨≥≤∞0)(axxxV，(2)定态薛定谔方程oax()定态薛定谔方程)()()(222xEψxψxVm=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇−h⎦⎣a.阱内方程：222E)()(dd2222xExxmψψ=−h令:222hmEk=)()(2′′k0)()(2=+′′xkxψψkxDkxCxcossin)(+=ψ通解：C和D是待定常数5一维无限深势阱因势阱壁无限高，粒子不能穿透阱壁，故阱外出现粒子的几率为零.()()()()axxx≥≤=,0,0ψb.由波函数自然条件和边界条件定特解由波函数自然条件和边界条件定特解波函数连续：00)0(=⇒=Dψ00sin0)(≠=⇒=Ckaa，ψ)0(π≠=knka⋅⋅⋅==,3,2,1,πnnk)0(,π≠=knka,,,,ah能量的可能值为：222222πhnnE=⎟⎟⎞⎜⎜⎛=h能量的可能值为2282maman⎟⎠⎜⎝——En称为能量的本征值显然能量取分立值(能级)——能量量子化(quantization)；5一维无限深势阱*当n→∞时，量子化连续；令n=121hE=＞0*最低能量：基态能量令n1218ma0(零点能，zeropointenergy)*相邻两能级间隔)12(π22+=ΔnEh相邻两能级间隔)12(22+=ΔnmaEn¾n增大相邻两能级间隔增大¾n增大，相邻两能级间隔增大；¾a增大(宏观尺度)则，能量连续变化经典情况反之出现量子尺寸效应0→ΔnE化——经典情况；反之，出现量子尺寸效应.5一维无限深势阱一维无限深势阱的能量本征函数h与各能级相对应的波函数——本征函数(eigenfunction)系由归一化条件：1d)(20=∫xxanψ121dπsin2022==∫aCxaxnCnanaCn2=),3,2,1(πsin2)(⋅⋅⋅==nxanaxnψaa•n≠0，否则ψ＝0；•主量子数±n，ψ代表同一状态，取正值；•主量子数±n，ψ代表同状态，取正值；•一个n对应一个波函数ψn，即对于粒子的一个可能态——一个“轨道”.5一维无限深势阱h概率密度xanaxnπsin2)(22=ψa