电动力学-格林函数

本节研究的问题：给定V内电荷分布ρ和V的边界S上各点的电势如何借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决给定V内电荷分布ρ和电场法向分量S第一类边值问题：第二类边值问题：Sn/较复杂的边值问题。§2.5格林函数一、点电荷密度的δ函数表示1.函数,0)(x,1d)(VVx(x≠0)(积分区域V包含x=0点),)(x(x=0)函数不是通常意义下的函数，具体表达式也不唯一。某些连续函数的极限可以看作函数，例如：,1d)(xxfaa若a→0而曲线与x轴之间的面积不变，则f(x)极限就可以看作函数。处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示1d)(d)(VVVVxx2.点电荷的电荷密度处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即)()(xxQ,0)(xxQ,d)(QVQVxx(积分区域V包含x=x’点)(x≠x’点)处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即)()(xxxQ3.函数的一个重要性质若f(x)在x’点附近连续，则)(d)()(xxxxfVfV同理，若f(x)在原点附近连续，则)0(d)()(fVfVxx这一性质称为函数的选择特性。一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足二、格林函数)(1)(02xxx若方程的解满足第一类边界条件1.格林函数的定义的解就叫做第一类边值问题的格林函数。0S，则方程若方程的解满足第二类边界条件则方程的解就叫做第二类边值问题的格林函数。，SnS01泊松方程格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数，不同的实际问题对应不同的格林函数。格林函数一般用G表示，则G所满足的微分方程为：)(1),(02xxxxG2.格林函数与实际问题的对应关系：格林函数:实际问题:求解区域V内：已知ρ(x’))(xx方程：)(1)(02xx)(1),(02xxxxG边界S上：S0SGSn已知令令已知，SnGS01在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电22200)'()'()'(4141)(zzyyxxrx因此，无界空间的格林函数为2220)'()'()'(41),(zzyyxxGxx3.常见的几个格林函数：（1）无界空间的格林函数。势为:证明略。当Q＝1时，由上节例1可得上半空间第一类边值问题的格林函数。2220)'()'()'(1[41),(zzyyxxGxx])'()'()'(1222zzyyxx以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标为(x’,y’,z’)，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格林函数为：（2）上半空间的格林函数。（3）球外空间的格林函数。以球心O为坐标原点。设电荷所在点P’的坐标为R’，场点P的坐标为R。yzxRR'R0xxrr'αθθ'o2120402202122cos21|)(|cos2||)cos(sinsincoscoscosRRRRRRRRRrRRRRrxxxx])cos2)((1)cos2(1[41)(21202021220RRRRRRRRRRGxx其中：根据镜像法得222zyxR222zyxR上节例2中a对应于R’，b对应于R02/R’，镜象电荷所在点的坐标为xRRxab220三、格林公式和边值问题的解2)(1.Green公式2)(二式相减，得到)(22SVSnnVd)(]d[22VVVVd)(d)(22这就是格林公式，它对任意两个标量函数都适用先考虑第一类边值问题，设V内有电荷分布ρ，边界S上给定电势|s，求V内的电势(x)。设区域内有两个函数(x)和(x)，格林公式:SVSnnV)d(d)(22取(x)为实际问题的解，满足泊松方程0212.边值问题的解取(x)为格林函数G(x,x’)，将x与x’互换，则有VGGVd)],()()(),([22xxxxxxSGnnGSd)],()()(),([xxxxxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd)],()(),([0xxxxx这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。所以第一类边值问题的解为SGnVGSVd),()(d)(),()(0xxxxxxx－由这公式，只要知道格林函数G(x,x’)，在给定边界上的|s值情形下就可算出区域内的(x)，因而第一类边值问题完全解决。在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件0),(SGxx对第二类边值问题，由于G(x’,x)是x点上单位点电荷所产生的电势，其电场通量在边界面S上应等于1/0，即01d),(SGnSxx满足上式的最简单的边界条件是SGnS01,xxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd)],()(),([0xxxxx所以，第二类边值问题的解VVGd)(),()(xxxx其中s是电势在界面S上的平均值。SSSnGd)(),(0xxx例在无穷大导体平面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内电势为V0，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。上半空间的格林函数用柱坐标表出为-cos221-cos22141,222222220RRzzzRzRRRzzzRzRxxG解:因为在上半空间ρ＝0，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为SxxGnxxSd,0－先计算格林函数的法向导数2322200-cos221RRRzRzzGnGz由于S上只有圆内部分电势不为零，所以只需对ra积分23222020232200202322200-cos211dd2-cos2dd2dzRRRRzRRRzVRRRzRzRRVSxnGaa＝当R2+z2a2时，可以把被积函数展开，得2222222223222022222222200232208154312cos2815cos2231dd2zRaRzRazRzaVzRRRRzRRRRRRzRzVxa