直线与圆锥曲线的位置关系

一道练习题的多种解法———直线与圆锥曲线的位置关系临沂现代试验学校高中部恨水无情题目:直线l:y=ax+b与曲线x2+y2=1相交于A,B两点.若AO⊥BO(O为坐标原点,).求实数a,b满足什么关系?解法(1):复数法设ZOA=cosθ+isinθ,AO⊥BO,则ZOB=iisincos=sinθ-icosθ∴A(cosθ,sinθ),B(sinθ,cosθ)∴lAB=cossinxy=sincoscossinbaxyysincos1sincoscossinsincos1sincoscossinba2sin112sin12sin122ba∴a2+1=2sin12sin12sin1=2sin12=2b2∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.本解法是笔者抄了资料上的解法,甚觉有点麻烦,所以就写了此文.解法(2):参数法1设圆x2+y2=1的参数方程),(sincos以下同为参数yx∴设点B(cosθ,sinθ),AO⊥BO,则点A(cos(θ+2),sin(θ+2))即点A(-sinθ,cosθ).又因为点A,B是直线l:y=ax+b与圆的交点xBAyo∴cossinsincosbaba221)1(1)1(sinaabconaab,且sin2θ+cos2θ=1⇒a2+1=2b2.∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.解法(3):参数法2设圆x2+y2=1的参数方程),(sincos以下同为参数yx∴设点B(cosθ,sinθ),AO⊥BO,则点A(cos(θ+2),sin(θ+2))即点A(-sinθ,cosθ).又因为点A,B是直线l:y=ax+b与圆的交点⇒cossinsincosbabasincos1sincoscossinba2sin112sin12sin122ba∴a2+1=2sin12sin12sin1=2sin12=2b2∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.解法(4)参数法3设直线的参数方程),(sincos为仰角为参数ttbytx则A(sin,cos11tbt),B(sin,cos22tbt)将参数方程中的x,y代入圆的方程01sin222bbtt1sin222221bttbtt有|AB|=2,212212)(2yyxxAB即21221212214)(4)(2yyyyxxxx化简得解法(4):整体法1∵AO⊥BO,过点O作l的垂线OD,垂足为D,则ABOBOAOD,且2,1,1ABOBOA,代入上式22OD,所以原点O到直线l:y=ax+b的距离为d=221002aba⇒a2+1=2b2.∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.解法(5)整体法2有已知AO⊥BO,,设直线l与曲线的交点A(x1,y1),B(x2,y2)则222ABOBOAAB=2122122121)()(xxkxxyy(*)012)1(122222babxxayxbaxy22212211112abxxaabxx代入(*)式,得xBAyoD2=222122121214)(1abaxxxxa⇒a2+1=2b2.∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.解法(6)向量法1由解法(4,)02)1(1222222abbyyayxbaxy22221221112aabyyabyy设向量OBOAyxOByxOA且),,(),,(2211002121yyxxOBOA⇒011122222aabab⇒a2+1=2b2.∴实数ab的关系是a2+1=2b2.解法(7)向量法2由解法(5)2221212),,(ABOBOAxxyyAB且x12+y12+x22+y22=(y2-y1)2+(x2-x1)202121yyxx⇒a2+1=2b2.∴实数a,b的关系是a2+1=2b2.练习:1.(98年全国)如图:直线l1,l2相交于点M,l1⊥l2,点N∊l1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若ΔAMN为锐角三角形,6,3,17BNANAM,建立适当的坐标系,l2l1MBNA求曲线段C的方程.2.(00年京皖春)如图:设点A,B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.xyxAoBABMm