直线与圆练习

直线与圆练习第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(10×4′＝40′)1.直线l与直线y=1、x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1,-1)，则直线l的斜率为()A.23B.32C.-32D.-232.点P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆422yx分别相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为()A.24B.16C.8D.43.已知直线1l：y=x,2l：ax-y=0，其中a为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12)时，a的取值范围为()A.(0，1)B.(33,3)C.(33,1)∪(1,3)D.(1,3)4.设a、b、k、p分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有()A.)1(2222kpkaB.k=abC.ba11=pD.a=-kb5.已知直线x+3y-7=0，kx-y-2=0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k等于()A.-3B.3C.-6D.66.若圆222ryx(r0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是()A.［4，6］B.[4,6）C.（4,6]D.(4，6)7.直线1l:0cbyax,2l:0pnymx,则bnam=-1是1l⊥2l的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.过圆422yx外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(rbyax(r0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a、b、r满足的条件是()A.)3(|3|3abbarB.)3(|3|23abbarC.)3(|3|3abbarD.)3(|3|23abbar10.直线y=kx+1与圆0922ykxyx的两个交点关于y轴对称，则k为()A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(4×3′＝12′)11.若点P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线l对称，则直线l的方程是.12.已知圆16)1()2(22yx的一条直径通过直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为.13.关于x的方程kx+1=21x有且只有一个实根，则实数k的取值范围是.14.经过点P(-2,4)，且以两圆0622xyx和422yx的公共弦为一条弦的圆的方程是.三、解答题(6×8′＝48′)15.若直线1l:x+y+a=0,2l:x+ay+1=0,3l:ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.16.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0α2)所得直线1l的方程为3x-y-4=0，若继续绕点P逆时针方向旋转2，则得2l的方程为x+2y+1=0，试求直线l的方程.17.设P是圆M：1)5()5(22yx上的动点，它关于A(9,0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值.18.已知点A(3,0)，点P在圆122yx的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程.19.如图，已知⊙A:425)2(22yx,⊙B:41)2(22yx,动圆P与⊙A、⊙B都外切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点1P、2P，求k的取值范围；(3)若直线l垂直平分(2)中的弦21PP，求l在y轴上的截距b的取值范围.20.已知圆C：044222yxyx，是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得弦AB为直径的圆过原点?若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由.直线与圆练习参考答案1.C方法1设直线l为y=kx+b，分别与y=1，x-y-7=0联立解得P(-bk,1)，Q(kb17，kbk17).由PQ中点为(1，-1)，∴217kbbk，且1＋kbk17＝-2，∴k=-32，故选C.方法2设P(a,1)，Q(b+7,b)，因PQ的中点为(1，-1)，∴121127bba，解得32ba，故P为(-2,1),Q为(4，-3)，∴3224131PQkk,故选C.2.C如图，PAOBS＝22||||2||2||||21232AOPOPAOAPAPAO=24||2PO.要求PAOBS的最小值，只需求|PO|的最小值即可.5212|10002|||22minPO，∴8)(minPAOBS，故选C.3.C如图，设直线y=ax的倾斜角为α,则α≠4,∴|α-4|12,∴6α3,且α≠4.a=tanα∈(33,1)∪(1,3).4.A应用点到直线的距离公式,选A.第2题图解第3题图解第5题图解5.B如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°.∴两条直线x+3y-7=0,kx-y-2=0互相垂直，(-31)·k=-1，即k=3，故选Ｂ.说明运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D如图，设l:4x-3y+25=0，与l平行且距离等于1的直线为4x-3y+b=0.∴2015|25|bb或b=30.1l:4x-3y+20=0，2l:4x-3y+30=0.圆心(0，0)到1l和2l的距离分别为5201d=4，5302d=6.故满足条件的r取值范围(4，6).实际上，圆222ryx没有点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则0r4，若圆上只有一点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r=4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1的r的取值范围.7.A由1bnam,可得1l⊥2l,∴选A.8.A方法1设切点为A、B，则AB⊥OP，∵410401OPk，∴4ABk.故排除B、C.又由图可知，AB在y轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.方法2设A(1x，1y)，B(2x，2y)，由AP⊥OA可得APk·OAk=-1，即1411111xyxy.∴04112121yxyx，又42121yx,∴04411yx.同理可得04422yx，∴AB直线为-4x+y+4=0，即4x-y-4=0.方法3设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则切线PA为411yyxx，422yyxx.∴4411yx,4422yx，∴A、B在直线4x-y-4=0上.另:此题可推广到一般结论，若P(0x,0y)为圆222ryx(r0)外一点，过P引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为200ryyxx.9.A直线方程为xy3，则圆心(a,b)到直线3x-y=0的距离为d=2|3|ba，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d=23r,∴|3a-b|=3r，故选A.第6题图解第8题图解10.B方法1将y=kx+1代入922ykxyx中有092)1(22kxxk.设交点为A(1x，1y)，B(2x，2y)，∵A、B关于y轴对称，∴021xx，∴k=0.故选B.方法2因直线与圆的两个交点A(1x，1y)，B(2x，2y)关于y轴对称∴021xx,21yy,故圆心在y轴上，∴k=0，故选B.11.x-y-1=0P、Q关于直线l对称，故1kkPQ=-1且PQ中点在l上，∴11111aabbkkPQ，又PQ中点为(21ba,21ab)，∴l的方程为y-21ab＝x-21ba，即x-y-1=0.此题也可将a,b赋特殊值去求直线l.12.2x+y-3=0由圆的几何意义知该直径与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.13.{k|k1或k=0或k-1}画出函数y=kx+1、y=21x的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.14.08622xyx设圆的方程为0)4(62222yxxyx经过P(-2,4)，∴0]44)2[()2(64)2(2222，∴λ=-2，∴所求的圆的方程为08622xyx.15.解由1l、2l相交，需1·a-1·1≠0,得a≠1，此时解方程组010ayxayx,可解得11yx即1l、2l的交点为(-1-a,1),由1l、3l相交,需1·1-1·a≠0,∴a≠1,由2l,3l相交，需1·1-a·a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1)3l,∴a·(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,综上所述，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+2a)互不重合，所以所求a的范围为a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).第13题图解16.解由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得012043yxyx，∴11yx.∴P点为(1，-1).又l与2l垂直，故l的方程为y+1=2(x-1)，即l的方程为2x-y-3=0.17.解设P(x,y),则Q（18-x,-y）,记P点对应的复数为x+yi,则S点对应的复数为:（x+yi）·i=-y+xi,即S(-y,x),∴|SQ|=xyyxxyyxyxxyyx22363618)()18(2222222=2222)9()9(2818118182yxyxyx其中22)9()9(yx可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离，其最大值为|MB|+r=253+1，最小值为|MB|-r=253-1,则|SQ|的最大值为2106+2,|SQ|的最小值为2106-2.18.解方法1如图，设P(0x,0y)(0y0)，Q(x,y).∵OQ为∠AOP的平分线，∴31||||OAOPQAPQ，∴Q分PA的比为31.∴000043311031)1(43311313yyyxxx即yyxx3413400.又因12020yx，且0y0，∴1916)43(91622yx.∴Q的轨迹方程为169)43(22yx(y0).方法2设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=2，则OQ直线方程为y=x·tan2=kx①3cossinPAk，∴直线PA方程为y=3cossin(x-3)②由Q满足①②且k=tan2.第18题图解由②得y=12)3()3(311122222kxkxkkkk.消去k有y=12)3(22xyxxy，∴02322xyx,由图知y0.故所求Q点轨迹方程为02322xyx(y0).说明上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法.19.解(1)如图，设⊙P的圆心P(x,y)，半径为R，由题设，有|PA|=R+25,|PB|=R+21,∴|PA|-|PB|=2.∴⊙P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为1322yx(x0).(2)由方程组)0(13122xyxkxy，有042)3(22kxxk(x0).①因为直线与双曲线有两个不同交点，∴0300022121kxxxx.从而，有3034222kkkk3330322kkkkk或或.∴-2k-3.(3)设21PP的中点为M(Mx、My)，则Mx=22132kkxx.又M在y=kx+1上，∴My=