直线和平面

学科：数学教学内容：第七章直线和平面一、考纲要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形)、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.二、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A在直线l上；Aα—点A不在平面α内；lα—直线l在平面α内；aα—直线a不在平面α内；l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；α∩l=A—平面α与直线l交于A点；α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.证题方法4.空间线面的位置关系(1)直线与直线),(又不相交既不平行异面有且只有一个公共点—相交没有公共点—平行共面(2)直线和平面有且只有一个公共点—相交没有公共点—平行直线在平面外直线不在平面内有无数个公共点—直线在平面内)((3)平面与平面没有公共点—平行无数个公共点有条公共直线—相交)(5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β，aβ，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义直线和平面所成的角有三种：(i)斜线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距