扬州市重点中学模拟试题

2005年扬州市重点中学四月数学模拟试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么PABPAPB()()()如果事件A、B相互独立，那么PABPAPB()()()··如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：PkCPPnnkknk()1球的体积公式：VR433（其中R表示球的半径）球的表面积公式：SR42（其中R表示球的半径）一.本卷共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集I＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，M＝｛3，4，5｝，N＝｛1，3，6｝，则集合｛2，7｝等于（）A.MNB.()()CMCNIIC.()()CMCNIID.MN2.函数yxxlg()10的反函数为（）A.yxx1100()B.yxx1100()C.yxx1001()D.yxx1001()3.已知：函数Zxy，则Z在区域xyyxy2831的约束条件下最小值为（）A.5B.1C.5D.84.在边长为1的正三角形ABC中，BCaACbABc，，，则abbcca···（）A.1.5B.15.C.0.5D.05.5.已知直线l⊥面α，直线m面β，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）lm//（4）lm//其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.46.若不等式xa1成立的充分条件为04x，则实数a的取值范围为（）A.[)3，B.[)1，C.(]，3D.(]，17.等差数列an中，an0，若aaaSmNmmmm12121038，()*，则m的值等于（）A.38B.20C.19D.108.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）A.14B.13C.12D.159.正三棱锥SABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（）A.abB.ab2C.ab4D.22ab10.已知函数yfx()1的图象过点（3，2），则函数fx()的图象关于x轴的对称图形一定过点（）A.（2，-2）B.（2，2）C.（-4，2）D.（4，-2）11.已知点P是以FF12，为左、右焦点的双曲线xaybab2222100()，右支上一点且满足PFPFPFF1212012·，∠tan，此双曲线的离心率为（）A.52B.2C.5D.312.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次，（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后（）分钟，该病毒占据64MB（1210MBKB)。A.45B.48C.51D.42第II卷（非选择题共90分）二.填空题（共4小题，每题4分，共16分）13.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n____________。14.在二项式12xn的展开式中，偶数项二项式系数和为32，则展开式的中间项为____________。15.若直线xym20按向量a12，平移后与圆Cxyxy：22240相切，则实数m____________。16.已知函数fxx()12的图像与函数gx()的图像关于直线yx对称，令hxgx()||1，则关于hx()有下列命题：（1）hx()的图像关于原点对称；（2）hx()为偶函数；（3）hx()的最小值为0；（4）hx()在（0，1）上为减函数。其中正确命题的序号为：____________________。三.解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）已知α为第二象限角，且sin154，求sinsincos4221的值。18.（12分）数列an前n项和为Sn且aSnNnn1()*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足b11，且bbannnn11()，求bn通项公式。19.（12分）如图，在直三棱柱ABCABC111中，BCAAAC143，，∠ACB＝90°，D是AB11的中点。（1）在棱BB1上求一点P，使CP⊥BD；（2）在（1）的条件下，求DP与面BBCC11所成的角的大小。20.（12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列an，使annn11（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记SaaanNnn12……*（1）求S42时的概率；（2）若前两次均为正面，求S82时的概率。21.（12分）已知：函数fxaxbxca()2131的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线210xy平行。（1）求b与c的值；（2）设fx()在［1，3］上的最大值与最小值分别为MaNa()()，。求FaMaNa()()()的表达式。22.（14分）设xyR、，在直角坐标平面内，axybxy，，，22，且||||ab8（1）求点Mxy，的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程。2005年扬州市重点中学四月数学模拟试题答案第I卷（选择题，共60分）一.选择题。1.B2.A3.A4.C5.B6.A7.D8.B9.C10.D11.C12.A第II卷（非选择题，共90分）二.填空题。13.20014.1603x15.3或1316.（2）（3）三.解答题。17.解：sinsincossincoscossinsincoscos422144222222222sincoscossincoscos………………6分∵α在第二象限，且sin154cos14………………10分∴原式2222cos………………12分18.解：（1）aSnn1aSnn111两式相减，aaSSnnnn11021aannan为公式为12的等比数列………………3分又n1时，aSa111112，aaqnnnn111121212·………………6分（2）bbannn1bbnnn112………………8分bbbbbbbbnnn213224331112121212……相加，bbnn123112121212……即：bnnnn11212121112112211221……·bnn2112………………12分19.解法一：（1）如图建立空间直角坐标系设Pz40，，，则CPz40，，由BD4002324，，，，，得：BD2324，，由CP⊥BD，得：CPBD·0z2所以点P为BB1的中点时，有CP⊥BD………………6分（2）过D作DE⊥B1C1，垂足为E，易知E为D在平面BC1上的射影∴∠DPE为DP与平面BC1所成的角………………8分由（1），P（4，0，z），D2324，，得：PD2322，，EPEPDPEPDPEDPEDPEDPE2042024824148241，，，，···∠∠∠||||coscosarccos即DP与面BBCC11所成的角的大小为arccos48241………………12分解法二：取BC11的中点E，连接BE、DE显然DE⊥平面BC1∴BE为BD在面BC1内的射影，若P是BB1上一点且CP⊥BD，则必有CP⊥BE∵四边形BCCB11为正方形，E是BC11的中点∴点P是BB1的中点∴BB1的中点即为所求的点P………………6分（2）连接DE，则DE⊥BC11，垂足为E，连接PE、DPDPE为DP与平面BC1所成的角………………8分由（1）和题意知：DEPE3222,tanarctanDPEDEPEDPE328328即DP与面BBCC11所成的角的大小为arctan328………………12分20.解：（1）S42，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为P1则PC14334121241214··………………6分（2）当同时出现正面时，要使S82，需后6次3次正面3次反面，设其概率为P2PC2633331212121212564………………12分21.解：（1）由A（0，1）满足fx()解析式c1，又fxaxbx'()20，时fbb'()022，bc21，………………4分（2）fxaxxaxaa()2221111aa131113，，，∴当xa1时，Naa()11………………6分当112a，时，aMafa121395，，()()………………8分当123a，时，aMafa131211，，()()………………10分Faaaaaaa()121312916121，，，，……………………12分22.解：（1）由题意得：xyxy2222228………………2分即点Mxy，到两定点FF120202，，，的距离之和为定值且FF128所以点Mxy，的轨迹是以FF12、为焦点的椭圆ac42，所以b212所求椭圆方程为：xy2212161………………6分（2）过点（0，3）作直线l，当l与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的圆过坐标原点矛盾∴l的斜率存在……………………7分设lykxAxyBxy：，，，311122由ykxxy31216122消y得：431821022kxkx1844321022kk恒成立且xxkkxxk12212218432143，………………10分由条件OA⊥OB，即OAOB·0xxyyyykxkxkxxkxx121212122121203339，即139021212kxxkxx121433184390222kkkkk解得：k54lyx：543……………………14分