新教材高一课外辅导材料04--函数的单调性与奇偶性

第四讲函数的单调性与奇偶性一、内容摘要1．函数是奇(或偶)函数的定义；一函数是奇(或偶)函数的必要条件；函数奇偶性的判定方法；奇(或偶)函数的性质；两函数的和、差、积、商、复合的奇偶性的判定．2．函数单调性的定义；常见函数的单调区间；函数单调性的证明；两函数的和、差、积、商、复合的单调性的判定．3．函数的奇偶性与单调性的综合应用．二、基本训练1．函数54)(2mxxxf在区间[－2，+∞]上是增函数，则)1(f的取值范围是（A）)1(f≥25（B）)1(f=25（C）)1(f≤25（D）)1(f＜252．函数11xy的单调性的正确说法是（A）单调递减函数（B）在(－∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数（C）在(－∞，1)上是减函数，在(1，+∞)上是减函数（D）除x=1点外，在(－∞，+∞)上是单调递减函数3．已知函数)0)(1()0)(1()(xxxxxxxf，则)(xf是：（A）奇函数（B）偶函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数4．函数2|2|1)(2xxxf（A）奇函数（B）偶函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5．已知函数32)1(2mxxmy是偶函数，则在(－∞，3)内)(xf是（A）增函数（B）有一部分递增另一部分递减（C）减函数（D）不能确定增减性6．已知函数)(xfy在)2,0(上是增函数，函数)2(xf是偶函数，则(A))27()25()1(fff(B))25()1()27(fff(C))1()25()27(fff(D))27()1()25(fff7．已知)(xf为偶函数，为)(xg奇函数，且11)()(xxgxf，则有)(xf=＿＿＿＿＿；)(xg=＿＿＿＿＿．8．（1）函数|23||1|xxy的递增区间是＿＿＿＿＿．；（2）函数的241xy递减区间是＿＿＿＿＿．9．若)(xf为偶函数，其定义域为R，且在[0，+∞]上是减函数，则)1(2aaf与)43(f的大小关系是＿＿＿＿＿．10．已知是定义在Ｒ上的偶函数，且它在),0[上单调递增，那么使)()2(aff的实数a的取值范围是＿＿＿＿．11．函数1xy的反函数是＿＿＿＿．12．证明函数1111)(22xxxxxf的图象关于原点对称。13．已知常数nm,满足2mn，求证函数nxmxxf21)(在),2(n上为减函数。14．讨论函数xxxf1)(的单调性．15．讨论函数1)(2xaxxf在)1,1(的增减性16．已知函数)(xf在区间(－∞，+∞)上是增函数，ba,∈R．(1)证明：如果ba≥0，那么)()()()(bfafbfaf；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，请证明你的结论．17．已知函数)(xf是定义在R*上的减函数，并且满足)()()(yfxfxyf，1)31(f，（1）求)1(f的值；（2）如果2)2()(xfxf，求x的取值范围．18．已知奇函数)(xf在定义域为(－1，1)上单调递减，且满足条件：)1(af0)1(2af的a的取值范围．19．定义在R上的函数)(xf对一切Ryx,有)()(2)()(yfxfyxfyxf，且0)0(f，试判断)(xf的奇偶性．20．求函数xxy22)1(x的反函数．21．若点（1，2）既在函数baxy的图象上，又在它的反函数的图象上，求ba,的值．22．23．已知函数)(xf的定义域是R，且对任意实数21,xx总有)()(2)(2121xfxfxxf成立，求证)(xf是偶函数．24．若)(xf是定义在R上的偶函数，且当x≥0时为增函数，那么使)(f＜)(af的实数a的取值范围是＿＿＿＿＿．25．已知函数)(xf是奇函数，当)1,0(x，时xxf11lg)(，那么当)0,1(x时，)(xf的表达式是＿＿＿＿．26．用定义证明1)(2xxf在),1[上是增函数27．函数)()1221()(xfxfx是偶函数，且)(xf不恒等于0，则)(xf为（A）奇函数（B）偶函数（C）可能是奇函数，也可能是偶函数（D）既不是奇函数，也不是偶函数28．求下列函数的单调区间：xxxf|1|)(229．下列函数中，在(－∞，0)内是减函数的有（A）1xxy（B）21xy（C）xxy2（D）xy130．已知函数cxbxxxf23)(是奇函数，函数3)(2cxxxgg在区间(－∞，3)为上减函数，在(3，+∞)上为增函数，求实数cb,的值．31．已知函数)(xf满足以下条件：定义域是一个闭区间，)(xf在定义域上严格单调，0)1(f，)1()1(xfxf，)(xf最大为0)(Maf，求)(xf的定义域和值域．32．判断下列函数的奇偶性（1）)1,0(21)(aaxaxxfx（2）2|2|1)(2xxxf33．判断函数1)(2xxxf在区间)1,1(上的单调性，并用定义加以证明．34．已知21)(xaxxf是),2(上的单调递增函数，求实数a的取值范围．35．已知奇函数)(xf满足下列两个条件：①存在常数p＞0使f(p)＝1；②当f(x1)，f(x2)，f(x1－x2)都有意义且f(x1)≠f(x2)时，)()(1)()()(122121xfxfxfxfxxf．⑴求f(2p)、f(3p)、f(5p)的值；⑵求证一定存在常数T，使得f(x＋T)＝f(x)；⑶若0＜x＜2p时，f(x)＞0，求证：f(x)在区间(0，4p)上是单调递减函数．36．如果函数2)1(22xaxy在区间]4,(上是减函数，求实数a的取值范围．37．已知)(xf是定义在Ｒ上的奇函数，当0x时，xxxf2)(2，求在Ｒ上)(xf的表达式．38．设)(xf是定义在Ｒ上的偶函数，且它的图象关于直线2x对称，已知]2,2[x时，1)(2xxf，求当]2,6[x时)(xf的表达式．39．若函数)(xfy)((xf不恒等于0)与)(xfy的图象关于原点对称，则)(xfy（A）是奇函数不是偶函数（B）是偶函数不是奇函数（C）既奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数40．在所有定义域为R的函数中，一定不存在的函数是（A）既是增函数，又是奇函数（B）既是奇函数，又是偶函数（C）既是偶函数，又有反函数（D）两个互为反函数的函数是同一函数41．奇函数)(xf在[3，7]上为增函数，且最小值5，则)(xf在[－7，－3]上是（A）增函数且最小值为－5（B）增函数且最大值为－5（C）减函数且最小值为－5（D）减函数且最大值为－542．设)(xf为定义在(－∞，+∞)上的偶函数，且)(xf在[0，+∞]上为增函数，则)2(f，)(f，)3(f的大小顺序是（A）)2()3()(fff（B）)3()2()(fff（C）)2()3()(fff（D）)3()2()(fff43．已知函数)(xfy是R上偶函数，当x＜0时，)(xf为增函数，对于1x＜0，2x＜0，有||||21xx，则（A）)()(21xfxf（B）)()(21xfxf（C）)()(21xfxf（D）)(1xf与)(2xf关系不确定44．已知函数)(xf的最小正周期为8，且等式)4()4(xfxf对一切实数x成立，则)(xf为（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）奇函数也是偶函数（D）非奇非偶函数45．若)(xf是偶函数，则)211()21(ff＿＿＿＿＿．46．已知)(xf是定义在Ｒ上的奇函数，且)(1)2(xfxf，若当32x时，xxf)(，则)5.5(f＿＿＿．47．已知函数)(xf是R上的偶函数，当x≥0时，32)(2xxxf。（1）用分段函数写出函数)(xfy表达式；（2）利用对称性画出其图象；（3）指出其单调区间；（4）利用图象指出在什么区间上)(xf＞0，在什么区间上)(xf＜0；（5）求出函数的最值．48．求证函数*)()(2Raxaxxf在区间],0(a上单调递减