西安中学高三数学期中试卷

西安中学高三年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={x|y=x，x∈R}，}Rxxy|y{N2，，则M∩N等于（）A．{（0，0），（1，1）}B．{x|x∈R}C．{y|y≥0}D．φ2．已知集合A={a，b，c}，集合B={m，n}，设映射f：A→B。如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象，那么这样的映射f有（）A．8个B．6个C．4个D．2个3．奇函数y=f(x)（x∈R）有反函数)x(fy1，则必在)x(fy1的图象上的点是（）A．（-f(a)，-a）B．))a(fa(1，C．（-f(a)，a）D．))a(fa(1，4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，x)31()x(f，那么)21(f的值是（）A．33B．3C．3D．95．函数)xx6(log)x(f231的单调递减区间是（）A．），21[B．]21，（C．），221[D．]213，（6．定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（）A．-10B．7C．-7D．-47．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P（1，0）变换成点Q（2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（）A．y=f(x-1)+2B．y=f(x-1)-2C．y=f(x+1)+2D．y=f(x+1)-28．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，那么a与b不可能（）A．相交B．异面C．平行D．垂直9．圆台上、下底面面积分别为22cm49cm1和，平行于底面的截面面积为2cm25，那么截面到上、下底面距离之比为（）A．2：1B．1：2C．3：1D．1：310．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（）A．96πB．24πC．84πD．60π11．正四棱台1111DCBAABCD下底面为ABCD，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线11BCAD与所成角的余弦值为（）A．73B．6524C．73D．7512．三棱锥A-BCD的高a33AH，H为底面△BCD的垂心，若AB=AC，二面角A-BC-D等于60°，G为△ABC重心，则HG的长为（）A．a10B．a7C．a6D．a5二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）13．若2x)1x(f（x≤0），则)x(f1=_______________。14．（如右图）矩形ABCD边长分别为15，20，PA⊥平面ABCD，则点P到CD边的距离为_______________；点P到BD的距离为_______________。15．（理科做）球外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积是_______________。（文科做）二面角内有一点，它到两个面的距离相等，并且等于它到棱的距离的一半，这个二面角的度数为_______________。16．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：①f(2)=0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于直线x=0对称；④f(x+2)=f(-x)。其中所有正确结论的序号是_______________。三、解答题（本大题共有6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，那么f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？写出你的推理过程。18．如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC内接于圆O，PA垂直于圆O所在的平面。（1）求证：平面PAC⊥平面PBC。（2）若PA：PB=4：3，65ABCcos，求直线PB和PAC所成角的大小。19．已知关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解，求实数a的取值范围。20．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，若PD=6，M，N分别是PB，AB的中点。（1）求证：MN⊥CD；（2）求三棱锥P-DMN的体积；（3）求二面角M-DN-C的平面角。（文科不做第（3）问）21．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：x53Qx51P，，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润？22．（理科做）已知函数)kaa(log)x(fyxa（0a≠1，k∈R）。（1）当0a1时，若f(x)在[1，+∞]内有意义，求k的取值范围；（2）当a1时，若f(x)的反函数就是它本身，求k的值；（3）在（2）的条件下，解方程)x(f)2x(f21。（文科做）设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)，（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的值域；（3）求f(x)的单调区间。参考答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1．C2．B3．A4．C5．D6．D7．A8．C9．A10．A11．D12．B二、填空题（每小题4分，共16分）13．014．343；1515．34；60°16．①②④三、解答题（共6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．解：设0xx21，则12xx0∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴)x(f)x(f12又f(x)是奇函数，∴)x(f)x(f12∴)x(f)x(f21故f(x)在（-∞，0）上是增函数18．证（1）∵PA⊥平面ABC，ABCBC平面∴PA⊥BC又∵AB是⊙O的直径∴BC⊥AC∴BC⊥平面PAC又PBCBC平面∴平面PAC⊥平面PBC（2）∵BC⊥平面PAC∴∠BPC为PB和平面PAC所成的角设PA=4k，AB=3k，则PB=5k∵65ABCcos，∴2k5ABCcosABBC在Rt△PCB中，21PBBCBPCsin∴∠BPC=30°为所求19．解：原方程等价于413)25x(a3x12由其图象易得当]4131(a，时，原方程有解20．（1）∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD又CD⊥DA，∴CD⊥平面PDA∴CD⊥PA又∵M、N分别是PB、AB的中点∵MN∥PA∴MN∥CD（2）设AC∩BD=0，连MO、PN∵MO∥PO∴MO⊥平面ABCD且3PD21MO∵N是AB的中点，∴4821S21SADBNDB∴4)36(431)MOPD(S31VVVDNBDNBMDNBPDMNP（3）过O作DN作垂线OK，垂足为K，连ON，MK则MK⊥ND∴∠MKO是二面角M-DN-C的平面角∵2421S21SDNBODB又52ANADDN22∴525222DNS2OKDNO∴253OKMOOKMtg∴253arctgOKM为所求。21．解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（3-x）万元。依题意，甲种商品可获利)x3(51P万元，乙种商品可获利x53Q万元，共获利为)3x3x(51x53)x3(51QPy]421)23x([512当23x，即49x时2021ymax（万元）43x3答：甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润1.05万元。22．（理科）解：f(x)在[1，+∞）内有意义，即0kaax时x∈[1，+∞）均成立，即1xx)a1(aak时x∈[1，+∞）均成立∵0a1，∴1a1∴1x)a1(在[1，+∞）上是增函数，当x=1时，其最小值为1，∴当k1时，f(x)在[1，+∞）内有意义（2）显然k≠0，从而kaalgxkaaakaaa)kaa(lgyyayxxyxa∴kaalg)x(fxa1为使)x(f)x(f1对f(x)定义域内的一切x都成立，则kaakaaxx，整理得0aaka)1k(x2对定义域中的一切x都成立∴1k0aak01k2此时)aa(lg)x(f)x(fxa1（x1）（3）由a1，12x2及x1得1x3)aa(lg)aa(lg)x(f)2x(fxaaxa2121x1x302xx2∴原方程有唯一解x=-1（文科）解：（1）x9x3210)x(f（0x3）（2）令427)23x(3u2，当x∈（0，3）时，]4270(，∴42710)x(f1（3）f(x)在]230(，上递增，在]323(，上递减。