西安市01-02上学期高三数学期末试题

2001—2002学年第一学期期末高三数学试题2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列}a{n中，90S15，则8a等于A．3B．4C．6D．122．如果)x(f)x(f且)x(f)x(f，则f(x)可以是A．sin2xB．cosxC．sin|x|D．|sinx|3．题设：平面α、β、γ直线l、m满足：α⊥γ，γIα=m，γIβ=l，l⊥m，结论：①β⊥γ；②m⊥β；③α⊥β，那么由题设可以推出的正确结论是A．①和②B．③C．②和③D．①和③4．从1、2、3…，100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A．167133CCB．233167133CCCC．233CD．1C2C2671005．若复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4，记|z+1+i|的最大值和最小值分别为M，m则mM等于（）A．2B．5C．10D．2106．过抛物线x4y2的焦点F做直线与抛物线交于P，Q两点，当此直线绕其焦点F施转时，弦PQ中点的轨迹方程为（）A．)1x(2y2B．1x2y2C．1xy2D．21yy27．设复数i31z1，i3z2，则)zzarg(21等于（）A．2B．3C．4D．68．将长为2πcm，宽为πcm的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面及粘接处），立放于桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A．直三棱柱B．直四棱柱C．高为π的圆柱D．高为2π的圆柱9．椭圆1m)6y(4)3x(222的一条准线为x=7，则随圆的离心率等于A．21B．22C．23D．4110．在正方体1111DCBAABCD中，EF为异面直线DA1和AC的公垂线，则直线EF与1BD的关系是A．异面B．平行C．相交且垂直D．相交但不垂直11．（理）在极坐标系中，点)611,2(P到直线1)6sin(的距离等于A．2B．1C．3D．31（文）自点（-1，4）作圆012y6x4yx22的切线，则切线长为A．5B．5C．10D．312．某工厂8年来某种产品总产量c与时间t（年）的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越慢；②前三年中，产量增长的速度越来越快；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）A．②与③B．②与④C．①与③D．①与④二、填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13．已知曲线C与曲线02y2x2关于直线x-y=0对称，则曲线C的焦点坐标为_________。14．若n)x2x(展开式中的第5项为常数项，则n=___________。15．现有三个电阻，串联后的电阻为R，并联后的电阻为r，令rtR，则t的取值范围是________________。16．____________________n21n2n85n43n21n三、解答题：（本大题共六道小题，17—21小题每题12分，22题14分共74分）17．已知复数z满足4z4z为纯虚数（1）求|z|；（2）若3)4zarg(，求z。18．某厂生产一种产品，使用的两种原料的价格随月份发生波动，生产每一件产品所需这两种原料的资金1P（元），2P（元）与月份t的关系式为：)3t6sin(30200P1，)Nt,12t(t6sin30300P2，预计每件产品的其它费用为100元，且保持每件产品的利润总为50元。（1）求每月产品的出厂单价3P与月份t的关系式，并求出3P的最大最小值。（2）若产品出厂后一个月才上市出售，且商店利润为10%，求该产品的市场价格4P与月份t的关系式。19．已知数列}a{n中，21a1，)Nn(anSn2n（1）求432aaa、、的值。（2）推测数列}a{n的通项公式，并用数学归纳法证明所得的结论。（3）求nnSlim20．（文科做①、②，理科做①、②、③）设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面的圆心，底面半径为10cm，C是SB上一点。①求证：AC与平面SOB不垂直；②若∠AOB=60°，C是SB的中点，AC与底面所成的角为45°，求O到平面SAB的距离；③在②的条件下，求二面角O—SB—A的大小。21．已知椭圆)0ba(1byax222（m0，n0）有共同的焦点21FF、，设P为椭圆和双曲线的交点。①求|PF||PF|21的值；②当b=n时，求证：21PFPF。22．设0a1，函数)1x(log1)x(g,3x3xlog)x(faa，设f(x)和g(x)的定义域的公共部分为D，求当D]n,m[，f(x)在)nm](n,m[上的值域是[g(n)，g(m)]时a的取值范围高三数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CDBBCADCABDC二、填空题：13．)0,23(14．1215．t≥916．n23n23n1三、解答题：17．（1）设)0m,Rm(mi4z4z解得1mi)1mi(4z，……………………3分所以41m1m41mi1mi4|z|22………………………………………6分（2）设3sini3cosr4z，则)0r(ri234r21z……………………9分因为|z|=4，所以16r234r2122即r=4所以i322z…………………………………………………………12分18．①依题意6t6cos30650t6sin3t6sin3065050100PPP213)Nt12t(6t6cos30650P3且当t=11时，3P有最大值680元，当t=5时，3P有最小值620元………………6分②依题意知t6cos337156)1t(6cos30650%)101(P4)Nt12t(t6cos33715P4且………………………………12分19．22a4S即61aa4a2122233a9S即121aa9a3233344a16S即201aa16a43444………………………………3分（2）猜想)1n(n1an………………………………………………5分证明：①当n=1时，21121a1结论成立②假设n=k时结论成立，即)1k(k1ak则1kk1k11aLaaaSk321k由1k21ka1kS即1k21kka1kaS，得)2k)(1k(1k2kSa2k1k说明当n=k+1时结论也成立。由①②可知，对于一切Nn都有)1n(n1an………………………………10分（3）1nn1n11)1n(n1L4.313.212.11Sn1Slimnn………………………………12分（20）（1）证明：假如AC⊥平面SBOQSO⊥底面AOB，∴平面SBO⊥底面AOB，交线为BO，做AD⊥BO于D，则AD⊥平面SBO又AC⊥平面SBO∴AC∥AD，这与AD∩AC=A矛盾，因而假使不成立，即AC与平面SBO不垂直………………………………4分（2）作CK⊥OB于K，连AK、ACQ平面SBO⊥底面AOB∴CK⊥底面AOB，则∠CAK是AC与底面AOB所成的角∠CAK=45°。又C是SB的中点，CK∥SO∴BO21BK,SO21CK，在Rt△ACK中3560sinAOKACK，∴310SO设G为AB中点，连接OG、SG则AB⊥GO，AB⊥SG，∴AB⊥平面SGO，平面SAB⊥平面SGO，过O作OM⊥SG于M，则OM⊥平面SAB在Rt△SGO中，点152SGGOSOOM∴点到平面的距离为152………………………………9分③过O作ON⊥SB于N，连接MN，则∠ONM为二面角O-SB-A的平面角，在Rt△SBO中，35SBOBOSON，在Rt△ONM中，552ONOMONMsin∴二面角O-SB-A为552arcsin………………………………12分21．解：（1）设点P(x，y)为曲线交点2211r|PF|r|PF|21PFF则a2rr21①m2rr21②………………………………………………………………3分得2221marr即2221maPFPF……………………………………………………6分（2）方法1：由得：222221m2a2rr，…………………………8分而nbnmbQa2222222mn2a…………………………………………………………10分222222222221c4)nm(4m2)mn2(2m2a2rr21PFPF…………………………………………12分方法2：用1kk21PFPF也可证明；方法3：在21FPF中，cosrr2rr)c2(21222122cosrr4)rr(c4221221221221222rrbrrca2cos2sinrr4)rr(c4221221221221222rrnrrcm2sin…………………………………………………………………………………………10分222bn2tg当n=b时9012tg即21PFPF………………………………………………………………12分22．解：可以求得f(x)的定义域为3x3x|x或，g(x)的定义域为1x|x∴D=3x|x…………………………………………3分又)3x61(log3x3xlog)x(faa令3x61t，则t在D上是增函数∴0a1是，f(x)在D上是减函数，g(x)在D上也是减函数。D]n,m[Q∴f(x)，g(x)在[m，n]上都是减函数。∴3mn………………………………………………………………………………4分且有)n(g)n(f)m(g)m(f∴m，n是方程f(x)=g(x)的两个相异实根……………………………………………………6分即m、n是方程0a33x)1a2(ax2的两个大于3的相异实根……………………8分令a33x)1a2(ax)x(P2它表示开口向上的抛物线∴有0)3(P3a21a201a0………………………………………………………………10分即0a121a801a16a161a02………………………………………………………………12分∴432a0………………………………………………………………14分