椭圆的简单几何性质

学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】1.椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e=ac,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程sin)(cosbyax是参数本节学习要求：椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b和二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0相交，所得弦长可由下法求之，由两方程中消去y，得ax2+bx+c=0，记△=b2-4ac,则弦长=ak)1(2△;若弦过焦点，则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目，灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.【重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义.例1设直线l过点P(-1，0)，倾角为3，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y=3x+3，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长=7)31(88=7224例2求椭圆252x+812y=1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d=564sin36cos53=564cos15sin36=564)125arctansin(39∴dmax=564139例3已知椭圆42x+32y=1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求|MP|+2|MF|的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有1MMMF=21∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组1124322yyx得N(362，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是(362，-1)【难题巧解点拨】例1P是椭圆方程为162y+92x=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4-7，4+7］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16t∈［4-7，4+7］当t=4时，取最大值为16当t=4±7时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例2F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=2t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a即(2+2)t=4a,t=(4-22)a∴｜PF2｜=2a-t=(22-2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-22)a］2+［(22-2)a］2=(2c)2∴22ac=9-62∴e=ac=6-3例3已知P是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的一点，F1F2为两焦点，且F1P⊥F2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.解：(利用椭圆第二定义求解)∵点P到两准线的距离分别是6和12∴2·ca2=6+12即a2=9c由椭圆第二定义知，e=11dPF=22dPF∵d1=6,d2=12∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e又∵PF1⊥PF2∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2∴36e2+144e2=4c2∵e=ac∴a2=45又a2=9c∴c=5∴b2=a2-c2=20∴所求椭圆的方程的452x+202y=1例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0)直线AB：y=-41x+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0∴-213＜t＜213①且x1+x2=138t又AB的中点M在直线y=4x+m上，∴1312t=4×134t+m∴t=-413m代入①式得：-13213＜m＜13213解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则421x+321y=1①422x+322y=1②①-②得42221xx+32221yy=0∴2121xxyy=)(4)(32121yyxx而KAB=2121xxyy=-41故有)(4)(32121yyxx=-41设AB的中点为(x,y)，则有x1+x2=2x,y1+y2=2y代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.由mymxmxyxy343由于AB的中点在椭圆内部∴4)(2m+3)3(2m＜1m2＜134-13213＜m＜13213故当m∈(-13213，13213)时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称.例5椭圆92522yx=1上不同三点A(x1,y1),B(4,159),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.解：由题知a=5,b=3,c=4.(1)由椭圆的第二定义知：12xcaAF=ac｜AF｜=a-acx1=5-54x1同理有｜CF｜=5-54x2∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜且｜BF｜=159∴(5-54x1)+(5-54x2)=518即x1+x2=8(2)∵线段AC的中点为(4，221yy)∴它的垂直平分线方程为y-221yy=1221yyxx(x-4)又点T在x轴上，设其坐标为(x0,0)，代入上式得，x0-4=)(2212221xxyy①点A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上∴y21=259(25-x21),y22=259(25-x22)∴y21-y22=-259(x1+x2)(x1-x2)将此式代入①并利用x1+x2=8得x0-4=-2536∴kBT=04059x=45【命题趋势分析】1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，这样计算简洁，还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.例1椭圆31222yx=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么｜PF1｜是｜PF2｜的()A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解：设F1(-3，0)，e=23,P(x0,y0)∵线段PF1的中点的横坐标为0，∴230x=0即x0=3∴｜PF1｜=a+ex0=23+23×3=273∴｜PF2｜=2a-｜PF1｜=43-273=23∴｜PF1｜=7｜PF2｜故选A例2设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=23,已知点P(0，23)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到P的距离等于7的点的坐标.解：设所求椭圆方程为22ax+22by=1(a＞b＞0)由e2=22ac=222aba=1-22ab和e=23得a=2b设椭圆上的点(x,y)到P点的距离为d，则d2=x2+(y-23)2=a2(1-22by)+y2-3y+49=-3(y+21)2+4b2+3(-b≤y≤b)若b＜21时，则当y=-b时，d2(从而d)有最大值，由题设得(7)2=(b+23)2，由此得b=7-23＞21与b＜21矛盾.若b≥21时，当y=-21时，d2有最大值，从而d有最大值，有(7)2=4b2+3,∴b=1,a=2∴所求椭圆方程为42x+y2=1,椭圆上的点(-3，-21)，点(3，-21)到P点的距离都是7.说明：本题体现了数学的转化与函数思想，本题关键是讨论距离函数d2=-3(y+21)2+4b2+3在区间［-b,b］上的最值，二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.例3已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=210.求椭圆方程.分析设P(x1,y1),Q(x2,y2,)由OP⊥OQ知x1x2+y1y2=0，再结合弦长公式与韦达定理求解.解：设椭圆的方程为22ax+22by=1(a＞0,b＞0,a＞b或a＜b)，点P、Q的坐标别为P(x1,y1),Q(x2,y2).由112222xybyax消去y得(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0，当△=(2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)＞0时由韦达定理得x1+x2=-2222baa,x1x2=22222babaa.且y1=x1+1,y2=x2+1,∵OP⊥OQ，∴11xy·22xy=-1,即y1y2+x1x2=0，∴(x1+1)(x2+1)+x1x2=0,∴2x1x2+(x1+x2)+1=0，①又｜PQ｜=210，由弦长公式有：211｜x2-x1｜=210,∴2［(x1+x2)2-4x1x2］=410,∴4(x1+x2)2-16x1x2-5=0②解由①、②组成的方程组得,32,412121xxxx或21412121xxxx∴32241)1(2222222baababa,或,212,41)1(2222222baababa解得32222ba或23222ba故所求椭圆方程为22x+322y=1或322x+22y=1【同步达纲练习】A级一、选择题1.椭圆22ax+22by=1与22ax+22by=k(a＞b＞0，k＞0)一定具有相同的()A.长轴B.焦点C.离心率D.顶点2.离心率为23，且过点(2，0)的椭圆标准方程为()A.42x+y2=1B.42x+y2=1或x2+42y=1C.x2+412y=1D.42x+y2=1或42x+162y=13.若方程mx252+my162=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A.(-16，25)B.(29，25)C.(-16，29)D.(29，+∞)4.若圆(x-a)2+y2=9与椭圆92x+42y=1有公共点，则实数a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.［-6,6］C.［-35，35］D.5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离，则椭圆的离心率为()A.3B.51C.3D.33二、填空题6.椭圆42mx+82y=1的离心率e=21,则实数m的值为.7.若方程52kx+ky32=-1表示椭圆，则实数k的取值范围是.8.若椭圆的长轴长、短轴长，焦距依次