椭圆的概念、性质,直线和椭圆的位置关系

高三数学（第23周）椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系【教学目标】1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题。2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程12222byax、12222bxay（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算。3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。【知识讲解】例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的方程。分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为12222byax，把点A（3，0）代入得baba310922则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为1922yx。2°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为12222bxay同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为198122xy。说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为1922yx后，不能简单地认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是1922xy。因为椭圆过一定点（3，0），则求焦点在y轴上的椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。例2、已知椭圆1422yx，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，若kOA+kOB=2，求直线斜率k。解：解方程组14422yxkxy消去y，整理得（1+4k2）x2+32kx+60=0△=(32k)2-4×60(1+4k2)=16(4k2-15)0设A(x1，y1)、B(x2，y2)kOA+kOB=2等价于22211xyxy即y1x2+y2x1=2x1x2即(kx1+4)x2+(kx2+4)x1=2x1x1整理得(k-1)x1x2+2(x1+x2)=0∵x1+x2=24132kkx1x2=24160k∴(k-1)24160k+2·24132kk=0解之得k=-15满足△0∴k=-15例3、已知椭圆C的直角坐标方程为13422yx，若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A(x1、y1)，B(x2，y2)，两点（其中y1y2），且满足2BFAF，试求直线l的方程。解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0），设l的方程为y=k(x-1)，则l与C的两个焦点：A(x1、y1)，B(x2，y2)，y=k(x-1)①，①代入②得：13422yx②(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=22438kk③x1·x2=2243124kk④，由条件2BFAF∴121221xx，即x1=3-2x2⑤∴x2=224349kk，x1=224394kk，代入④得：k2=45，k=±25，易见x1x2，因y1y2，故k=01212xxyy∴l方程：y=-)1(25x例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则30cosaR，∴342330cosRRa，∴椭圆的长轴长为83，短轴长为12，3222bac，∴离心率21ace。例5、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线l，斜率为112yx，又设d为原点到直线l的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：drr21为定值。分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆12222byax上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆12222bxay上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。解：由椭圆方程2222yx可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率22e，由焦半径公式可知，2121221121212))((xxeaexaexarr。又直线l的方程为：)(21111xxyxyy即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，212142yxd，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，∴212121212142)2(2242xxxyxd，∴244224212121xxdrr为定值。例6、已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，3b，c=1，∴21e，2121221121414))((||||xxeaexaexaMFMF，点M到椭圆左准线的距离4121xcaxd，∴212121)4(414,xxdrr，∴048325121xx，∴41x或5121x，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。例7、直线l：6x-5y-28=0交椭圆12222byax（a＞b＞2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。解：设BC的中点D（x0，y0）,F（c，0）,由定比分点公式可知21200xc，21200yb，∴2,2300bycx，又点D在直线l上，∴056518bc①又设B（x1，y1）、C（x2，y2）则1221221byax1222222byax两式相减得：0))(())((2121221212yyyyaxxxxb，cxxx32021byyy0212代入得：563222121bacbxxyy，∴2a2-5bc=0②又a2=b2+c2由①、②可得c=2或41112c。当c=2时，代入①得b=4，则a2=20，当41112c时，24156b舍去。∴所求椭圆的方程为1162022yx。例8、焦点在x轴上的椭圆195522ymx绕上顶点逆时针旋转90°后，一条准线方程为y=437，求旋转前后的椭圆方程及它们的焦点坐标。解：a=55m，b=3，c=45m，旋转后椭圆的中心为(3，3)∴3+ca2=437∴3+4555mm=437解之得：m=4或1629(均满足5m+59)∴旋转前椭圆的方程为192522yx和191622522yx其焦点坐标分别为(-4，0)(4，0)和(-49，0)(49，0)旋转后椭圆方程为19)3(25322xy和19)3(16225322xy其焦点坐标分别为(3，7)(3，-1)和(3，421)、(3，43).例9、已知椭圆12222byax（a＞b＞0）上两点A、B，直线kxyl:上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线l的方程。yxABOCDO＇解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。设正方形的边长为p，则rp22，∴23p，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即223，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。（1）设AB：y=x-2由y=x-2CD：y=x+4x2+y2-2y-8=0得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆12222byax上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为141222yx。（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得：16,54822ba，此时b2＞a2（舍去）。综上所述，直线l方程为y=x+4，椭圆方程为141222yx。例11、曲线2x2+y2=2a2（a＞0）与连结A（-1，1），B（2，3）的线段没有公共点，求a的取值范围。解：（1）若A、B在椭圆外部，则方程2x2+y2=2a2与直线AB的方程2x-3y+5=0组成的方程组无实数解，由0532yx消去y得22222ayx22x2+20x+25-18a2=0无实数解，令0)1825(2244002a解得222250a。（2）若A、B两点都在椭圆内部，显然交点B在椭圆上时是线段AB与椭圆有公共点的最大椭圆此时可解得234a，∴234a时，椭圆与线段AB无公共点，故所求a的取值范围是222250a或234a。例12、AB是椭圆12222byax（a＞b＞0）中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：OMABkk为定值。解：设A（x1，y1）B（x2，y2）∴1212xxyykAB，1212xxyykOM，∴21222122xxyykkOMAB，又点A、B在椭圆上，则：)1(),1(221221222222axbyaxby∴222122222122)(abxxxxabkkOMAB为定值。说明：若一条动直线与椭圆相交于两个点A、B，我们常常采用“设点法”设出点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标，然后把点的坐标代入椭圆的方程，1221221byax两1222222byax式相减即可得到x1+x2，y1+y2及x1-x2，y1-y2的关系了，往往可以简化计算，达到很理想的效果，这种“设而不求”的解题思想在解析几何中有着广泛的应用，我们在学习时要充分注意。例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆的方程。解：设所求椭圆方程为12222byax，依题知点P、Q的坐标满足方程组12222byax①∴(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0③，设③的两个根分别为x1、x2，则yxOF1F2Pαβy=x+1②P(x1，x1+1)、Q(x2，x2+1)∵OP⊥OQ，|PQ|=210∴4121xxx1x2=-41∴232222baa212222baa或或x1+x2=-23x1+x2=-2141)1(2222baba41)1(2222baba∴a2=2a2=32或故所求椭圆的方程为132222yx或123222yxb2=32b2=2，例14、已知椭圆12222byax（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若21FPF，21FPF，求证：离心率2cos2cose；（2）若221PFF，求证：21PFF的面积为tgb2。分析：21FPF的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此aPFPF2||||21，|F1F2|=2c，所以我们应以21FPF为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。证明：（1）在21FPF中，由正弦定理可知sin||sin||)(sin||2121PFPFFF，则yxOABPsinsin||||)sin(221PFPFc∴sinsin2)sin(2ac∴2cos2cos2cos2sin22cos2sin2sinsin)sin(22