四川省重点中学高2006级数学能力题训练五

四川省重点中学高2006级数学能力题训练五（由四川教科院组织名校教师联合编写）1.用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是（）A．P44B．P44P33C．6P33D．C152C403P552.设(1－2x)10＝a1+a2x+a3x2+…+a11x10，则a3+a5+…+a7+a9等于（）A．310－1B．1－310C．21(310－1)D．21(310+1)3.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A．110B．120C．140D．11204.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.97285.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．21ppB．)1()1(1221ppppC．211ppD．)1)(1(121pp6.编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有（）A．20B．40C．120D．4807.同一天内，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12，假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙两地都不下雨的概率是（）A．0.102B．0.132C．0.748D．0.9828.A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种9.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等,且为100225D．都相等,且为40110.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=41t4－35t3+2t2，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末11.设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）A．1baB．1baC．0baD．0ba12.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、BC、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°13.若椭圆9822ykx=1的离心率为21，则k的值为.14.一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间．．．．．能放下的最大的球的直径为__________________.15.某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有种.（用数字作答）16.在102)1)(1(xxx的展开式中，4x项的系数是17.已知定点(1,0)F，动点P（异于原点）在y轴上运动，连接PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且0PMPF，||||PNPM.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若4OAOB且46||430AB，求直线l的斜率k的取值范围．18.如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.（1）沿图中虚线将它们折叠起业，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1？（2）设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E，求平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.19.已知在四面体ABCD中，PA=a，PB=b，PC=c，G∈平面ABC．（1）若G为△ABC的重心，试证明31PG(a+b+c)；（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．20.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，90ACB0，E为BB1中点，0190DEA.（1）求证：CD面A1ABB1;（2）求二面角C-A1E-D的大小.21.如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）求证：PC∥平面EBD；（3）求二面角A—BE—D的大小.（用反三角函数表示）.22.如图所示：正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为26，（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；ABCDGPEDC1B1A1CBA（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F，使EF⊥侧面PBC，试确定点F的位置，并加以证明．高三数学能力训练5参考答案123456789101112BCDDBBCCCDDC13.4或－5/414.1315.5616.13517.解(1)设动点N的的坐标为(,)Nxy，则(,0),(0,),(0)2yMxPx，(,),(1,)22yyPMxPF，由0PMPF得，204yx，因此，动点N的轨迹C的方程为24(0)yxx.…………5分(2)设直线l的方程为ykxb，l与抛物线交于点1122(,),(,)AxyBxy，则由4OAOB，得12124xxyy，又2211224,4yxyx，故128yy.又224440(0)yxkyybkykxb，∴216(12)048kbk，2222116||(32)kABkk，∴46||430AB即22211696(32)480kkk解得直线l的斜率k的取值范围是11[1,][,1]22.……………………12分18.（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（见右图），需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.……（6分）（2）解法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，由三垂线定理知，B1H⊥AG，则∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角的平面角，……（8分）在Rt△ABG中，AG=,180则BH=,512180126B1H=518212BBBH，……（10分）ACBDOEP32cos11HBHBHBB，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.3212分解法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建立直角坐标系，设棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分设向量n=（x，y，z），满足n⊥1EB，n⊥1AB，于是zyzxzxzy21,066,036解得，…………10分取z=2，得n=（2，－1，2），又1BB=（0，0，6），则.321812||||cos11BBnBBn…12分19.解：（1）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分AD所成的比为2∶1，从而ADAGPAPG32a，)2(21)]()[(21)(21acbPAPCPAPBACABAD，故)(31)2(31cbaacbaPG．（2）逆命题成立，证明如下：设D分BC所成的比为p，G分AD所成的比为q．则)(11PBPCppBCppBD，)(11PAPDqqADqqAGPCppPBpPBPCppPBBDPBPD111)(1，于是，)111(1PAPCppPBpqqPAAGPAPG=PCpqpqPBpqqPAq)1)(1()1)(1(11因31PG(a+b+c)，故31)1)(1()1)(1(11pqpqpqqq，解得q=2，p=1，于是G为△ABC的重心．1111112012(1)90,2,22,22,190,9090222,21ADxACBACBCABBDxBEADEAADEDBADAEDBDAARtAADRtDEBAADBxxADBEx（乙）（本小题主要考查空间的线面关系，二面角的确定，几何体的体积运算，以及应用空间概念解决问题的能力。满分分。）如图，设，又，，，，，1111111122111222211112,.4(2)63903ADDBDABACBCCDABBBABCBBCDCDAABBDFAEFCFCDAABBCFAECFDCAEDADAAADDEDBBEADEAEADDEADDEDF为中点，又，，三棱柱为直三棱柱面，，面分作于，连，面，是二面角的平面角，，，111111111245,458(3),63211116321.123326ACDECADECADEADECFDCAEDAEVVADEADDECDVSCDADDECD即二面角的平面角为分在Rt中，，，，分21.21．解法一：（1）∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD.在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6.……………………2分取BC的中点F，连结PF，则AF//CD.∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF.在△PAF中，.60,60,23所成的角是和即异面直线CDPAPAFPFPAAF……4分（2）连结AC交BD于G，连结EG，分平面平面平面又分分又8.//,6.//5.,21,21EBDPCEBDPCEBDEGEGPCEPAEGCAGEPAEBCADGCAG（3）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.……9分作AE⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.……10分分的大小为二面角所以分中在12.5arctan,.5tan11,55345sin,5,DBEAAHADAHDBEAEABAHBEABE解法二：（1）建立如图所示的直角坐标系B—xyz.分所成的角为与异面直线分即则设4.60.2123239||||,cos),3,3,0(),0,3,3(2.6.09)3(3,0,),3,3,3(),0,3,3(),0,0,()0,3,3(),3,0,0(),0,3,0(,APCDPACDPACDCDPAPACDaaPDCDPDCDPDaCDaCDPAaBC（1）同解法一.（2）设平面BED的法向量为由因为),0,3,3(),1,2,0(),1,,(1BDBEyxn分于是所以得10).1,21,21(,.21,21,,033,012,0,0111nyxyxyBDnBEn又因为平面ABE的法向量),0,0,1(2n.6661,cos,21nn所以所以，二面角A—BE—D的大小数点为.66arccos……12分22.解：(1)取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABC