四川省重点中学高2006级数学能力题训练六

四川省重点中学高2006级数学能力题训练六（由四川教科院组织名校教师联合编写）1.天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为1049n元（n∈N*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了（）A．800天B．1000天C．1200天D．1400天2.两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线122byax的离心率e等于（）A．23B．415C．25D．33.有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（）A．2aB．22aC．32aD．42a4.直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线y＝n（n＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有（）A．25个B．36个C．100个D．225个5.方程11122xyyx所对应的曲线图形是（）A．B．C．D．6.设0＜x＜π，则函数xxysincos2的最小值是（）A．3B．2C．3D．2-37.四面体ABCD的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是()A．2,0B．32,0C．32,2D．4,28.若直线1kxy与曲线12yx有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．12kB．22kC．21kD．2k或2k9.某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y（单位：万元）与年数xNx满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（）A．3年B．4年C．5年D．6年10.从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则mn等于（）A.0B．14C．12D．1611.设函数fxxx()()()1010，则()()()()ababfabab2的值为（）A．aB．bC．a、b中较小的数D．a、b中较大的数12.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，圆C经过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹是（）A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线和抛物线13.有四个好友A,B,C,D经常通电话交流信息,已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条高考信息,那么第一个电话是A打的情形共有种.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，根据右图所示裁判的回答，5人的名次排列共有种不同的情况.14.x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是15.已知矩形ABCD的边PABCaAB,2,平面,2,PAABCD现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(aaaaa当在BC边上存在点Q，使QDPQ时，则a可以取_____________.（填上一个正确的数据序号即可）16.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有.(请把正确说法的序号都填在横线上)17.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？18.摸球兑奖，口袋中装有4红4白共8个小球，其大小和手感都无区别，交4元钱摸4个球，具体奖金如下：4红(10元)、3红(5元)、2红(1元)、1红(1包0.2元的葵花籽)，试解释其中的奥秘19.已知)0,()1()(*212mNnmxmxnn与的展开式中含xn项的系数相等，求实数m的取值范围20.已知10件产品中有3件是次品.（1）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？21.平面上两个质点A、B分别位于（0，0），（2，2），在某一时刻同时开始，每隔1秒钟向上下左右任一方向移动1个单位，已知质点A向左右移动的概率都是,41向上下移动的概率分别是31和,61质点B向各个方向移动的概率是,41求：（1）4秒钟后A到达C（1，1）的概率；（2）三秒钟后，A，B同时到达D（1，2）的概率22.（文）如图甲、乙连接的6个元件,它们断电的概率第一个为P1=0.6,第二个为P2=0.2,其余四个都为P=0.3.分别求甲断电、乙通电的概率.FDEC甲BA654321FDEC乙BA654321（理）已知a＞1，数列}{na的通项公式是21nnaa，前n项和记作nS（n＝1，2，…），规定00S．函数)(xf在0S处和每个区间（iS，1iS）（i＝0，1，2，…）上有定义，且0)(0Sf，iiaSf)(（i＝1，2，…）．当x（iS，1iS）时，f（x）的图像完全落在连结点iP（iS，)(iSf）与点1iP（1iS，)(1iSf）的线段上．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设f（x）的图像与坐标轴及直线l：nSx（n＝1，2，…）围成的图形面积为nA，求nA及nnAlim；（Ⅲ）若存在正整数n，使得2aAn，求a的取值范围．高三数学能力训练6参考答案123456789101112ACBDDCBACBCC13.1654。14.10或103115.①或②16.①②③17.解（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有44C种2）取3个红球1个白球，有1634CC种；3）取2个红球2个白球，有,2624CC种符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种186142332)60(72)40(5,,)2(1151644263436242624163444CCCCCCyxyxyxyyxxyxyxCCCCC14.解：摸出4球有C84＝70种可能性，四“红”只有一种，三“红”：C43C41＝16种，2“红”：C42C42＝36种.1“红”：C41C43＝16种共计：赌70次收参赌费280元，平均奖金1×10+16×5+36×1+16×0.2＝129.2(元).所以，每赌70次，该赌者可净赚150.8元15.m]32,21(3221,32,1,21,),1211(21121:1,12,)(21112111212121112的取值范围是故时又当的减函数为由题意知项的系数为故此展开式中得令则的展开式通项公式为设mmmnmNnnmnnnmmCmCmCxnrnrnmxCTTmxnnnnnnnnnnrrnrnrrn16.解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为24731037CC…………3分至少有一件是次品的概率为.24172471……………………6分（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为.103733nnCCC………8分由,)!10(!!10106)!10()!3(!7,6.01037nnnnCCnn即整理得：689)2)(1(nnn，……………………10分,10,nNn∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为;2417为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分17.2242111212:,,4,2,2,,4,,4,12,PACACACCACPPPPCP上下右上上上解用表示向上的概率等等质点要在秒钟到达必须用秒钟完成一次向上和向右的移动另外秒钟用于完成一个左右或上下的来回移动因此质点经过秒钟到达的路线就对应上右上下或上右左右的一个排列。反之容易验证上述任意一排列都对应经过秒钟后到达的一条路线而上右上下和上右左右的排列数都是由此，所求概率为：1311111111171212634363446144(2)(1)31111343312111111936104444446419331264256PPPADCPPPBDABD右左右右上上分仿可知，经过秒，到达的概率为，8分到达的概率为，分经过秒钟后，、、同时到达的概率为。12分18.（文）解：图甲：AB、CD、EF三线路断电事件为M、N、G,每个线路断电二个元件至少有一个断电,且它们是相互独立的,于是：P（M）=1－（1－0.6）（1－0.2）=1－0.4×0.8=0.68P（N）=P（G）=1－（1－0.3）（1－0.3）=1－0.7×0.7=0.51由于事件M、N、G相互独立,所以电器断电的概率P（M·N·G）=0.68×0.51×0.51=0.177.图乙：1、3、5通路的概率P1=1-0.6×0.3×0.3=0.946；2、4、6通路的概率P2=1-0.2×0.3×0.3=0.982；所以图乙通路的概率=P1×P2=0.946×0.982=0.929。（理）解：（1）f（x）的定义域是](](](}{121100nnSSSSSSS，，，，由于所有的na都是正数，故nS是单调递增的．∵1111lim21aaaaqaSnn∴f（x）的定义域是]10[2aa，（Ⅱ）∵iiiPPSSSfSfki111)()(11aaaaiii111（i＝1，2，…）与i无关．∴所有的1P，2P，3P…共线，该直线过点1P（a，a），斜率为1-a，∴2121aA．当n≥2时，nA是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是))](()([2111SSSfSfnn]11)11()[1(212aaaaaann)1(214222aaann于是)1(21242222aaaaAnnn故)1(2)1(22lim322aaaaaAnn（Ⅲ）解法一：结合图像，易见1121akPP即a≥2时，nnnAAalim2，而1121akPP，即a＜2时，2222121limaaaAnn故当1＜a＜2时，存在正整数n，使得2aAn解法二：假设存在正整数n，使得2aAn，则应有0)1(212242222aaaaann0)1(2)12(422222aaaaannn0)12()1(2222naaaa∵1a，∴0)1(22aa01222naa2122naa∴1＜a＜2时，存在正整数n，使得2aAn成立