双曲线及其标准方程

学科：数学教学内容：双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程22ax-22by=1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；22ay-22bx=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法：本节主要数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线、圆联系密切，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容.【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22ax-22by=1；但关于坐标适合方程22ax-22by=1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明.例1若方程mx22+3my2=1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2求与椭圆252x+92y=1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216x-22y=1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x-72y=1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为252x+92y=1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x-72y=1.例3课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：362y-812x=1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)kAB·kAC=22ba，则顶点A的轨迹方程为：22ay-22bx=1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).kAB·kAC=22ba，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线22ay-22bx=1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22ba;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，kAB·kAC=22ba是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O1外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1①，｜MO2｜＝｜MB｜-3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x-52y＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2过双曲线92x-162y＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故消去y，并整理得7x2+90x-369＝0③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝221xx＝2790＝-745.C点的坐标满足方程②，故y＝-745-5＝-780∴｜CF｜＝22)780()7455(＝2(5+745)＝7280又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝221221)()(yyxx＝221221)()(xxxx＝221)(2xx＝]4)[(221221xxxx由方程③知x1+x2＝-790,x1·x2＝-7369∴｜AB｜＝]71476498100[2＝4936860＝7192＝2773点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线、圆和椭圆联系密切，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1设F1和F2为曲线42x-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则求△F1PF2的面积.分析一依题意求出P点的纵坐标，据面积公式计算△F1PF2的面积.设P(x1,y1),由PF1⊥PF2得511xy·511xy=-1即y21=5-x21又x21-4y21=4联立解得y1=±55∴21PFFS△=21｜F1F2｜·｜y1｜=21·2c·55=1分析二运用双曲线定义解题由点P在双曲线上，知｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜2+｜PF2｜2=20联立解得｜PF1｜·｜PF2｜=2∴21PFFS△=21｜PF1｜·｜PF2｜=1例2已知l1、l2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.(1)求l1的斜率k1的取值范围.(2)若｜A1B1｜=5｜A2B2｜；求l1、l2的方程.分析设直线斜率为k，联立方程组求解.(1)因为若l1、l2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，所以l1、l2的斜率k1、k2均不为零.设l1:y=k1(x+2),l2:y=-11k(x+2)把它们代入双曲线方程分别得(k21-1)x2+22k21x+2k21-1=0①(k21-1)x2-22x+k21-2=0②当k1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意，所以，当k1≠±1时由①、②的判别式都大于零得041204122121kkk1∈(-3，-33)∪(33，3)且k1≠±1(2)由①、②可知｜A1B1｜=211k·212214)(xxxx=211k·22121)1(412kk｜A2B2｜=211k·22121)1(412kk∵｜A1B1｜=5｜A2B2｜∴解得k1=±2,k2=±22∴所求直线方程为l1:y=2(x+2),l2:y=-22(x+2)或l1:y=-2(x+2),l2:y=22(x+2).例3如图，给出定点A(a,0)，(a＞0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.分析设B(-1，y0)，C(x,y)，由角平分线的性质有CBAC=OBOA,当y0≠0时，又由平行线性质有CBAC=EDAE=BFFD=BFCE∴OBOA=EDAE=BFCE即有201ya=1xxa=yyy0(易知y与y0-y同号，0＜x＜a)由201ya=1xxa得a2(x+1)2=(a-x)2(1+y20)①又由1xxa=yyy0得y0=xaa1·y②由①、②消去y0并整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0③当y0=0时易知点C即为原点，此时x=0，y=0，亦满足③，故所求点C的轨迹方程是：(1+a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)④(1)当a=1时，方程为y2=x(0≤x＜1)表示抛物线弧段.(2)当a≠1时，④变形为22)1()1(aaaax+2221aay＝1(0≤x＜a)当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A级一、选择题1.设θ∈(43，π)则方程x2·cosθ-y2secθ=1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线2.如果双曲线92x-y2=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜等于()A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是()A.两个椭圆B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x+42y=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.32x-y2=1B.y2-32x=1C.32x-42y=1D.32y-42x=15.设动点P到定点F1(-5，0)的距离与它到定点F2(5，0)的距离的差等于6，则P点轨迹方程是()A.92x-162y=1B.92y-162x=1C.92x-162y=1(x≥3)D.92y-162x=1(x≤-3)二、填空题6.若椭圆mx2+ny2=1(0＜m＜n)和双曲线ax2-by2=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则｜PF1｜·｜PF2｜=.7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为.8.与双曲线16x2-9y2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为.三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C：(x+3)2+y2=16，动圆P与圆C相外切并过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.10.在双曲线x2-y2=1上求一点P，使它到直线y=x的距离为2.AA级一、选择题1.直线l过双曲线22ay-22bx=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A、B两点，F2是双曲线的另一个焦点，且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为()A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x2-y2=a2与曲线(x-1)2+y2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a的值只能是()A.a=0B.a=±1C.0＜｜a｜＜1D.｜a｜＞13.若amx32+amy42=1表示双曲线，a为负常数，则m的取值范围是()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-∞,-4a)∪(3a,+∞)D.(-3a,4a)4.依次连接双曲线x2-y2=12与圆x2+y2=25的交点，则所成的图形是()