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数学奥林匹克高中训练题（28）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题38)已知连结A（－3，0），B（0，－3），C（1524,77）的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）总有公共点.则圆半径R的取值范围是(B)．(A)3103890,,107(B)310389,107(C)320,(3,)2(D)32,332．(训练题38)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB、DB1、A1D1、CC1两两成异面直线.现作一对相交直线l1、l2，使l1与AB、DB1均相交，l2与A1D1、CC1均相交，这样的相交直线有(D)．(A)0对(B)1对(C)多于1的有限对(D)无限对3．(训练题38)如图，过⊙O外一点A作圆的两条切线AB、AC，连BC.则△ABC的周长P与劣弧BC的长l之间的关系为(A)．(A)P＞2l(B)P=2l(C)P2＜l(D)不能确定，与A的位置有关4．(训练题38)已知x为锐角.则332sincos2xx是4x的(C)．(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5．(训练题38)如图1，矩形B1BCC1由正方形B1BAA1与A1ACC1拼接而成.现将图形沿A1A对折成直二面角；如图2，取线段B1C内一点P，记P到AB的距离为PE，P到A1C1的距离为PF，则PE与PF的关系为(B)．(A)PE＞PF(B)PE=PF(C)PE＜PF(D)不能确定，与点P的位置有关6．(训练题38)对b＞a＞0，取第1象限的点Ak（xk，yk）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，而a，y1，y2，…，yn，b成等比数列.则各点A1、A2、…、An与射线l∶y=x（x＞0）的关系为(C)．(A)各点均在射线l的上方(B)各点均在射线l上(C)各点均在射线l的下方(D)不能确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）ABCA1B1C1D1DlOBACCABB1A1C1CBAA1C1B1PF图1图21．(训练题38)方程log5(3x+4x)=log4(5x－3x)的解集合为{2}．2．(训练题38)在直角坐标系上，Rt△OAB三个顶点的坐标为O（0，0），A（1，0），B（1，2）.在斜边上任取一点C（x，2x）（0＜x＜1），过C作CD⊥OA于D，作CE⊥AB于E.记△OCD的面积为S1(x)，矩形CDAE的面积为S2(x)，△CEB的面积为S3(x)（如图）；又对同一个x，记f(x)为S1(x)，S2(x)，S3(x)中的最大值.当C在线段OB内变化时，f(x)的最小值为49．3．(训练题38)满足(an－1)(an+1+1)=0(n=1，2，…，99)的不同数列a1，a2，…，a100共有无穷个．4．(训练题38)已知纯虚数x1，x2，…，x1999的模均为1.则x1x2+x2x3+…+x1998x1999+x1999x1被4除所得的余数为1．5．(训练题38)身高两两不等的10个人排成一列，每个人都比前面的人高或都比前面的人矮.则符合条件的排法数有512种（用数字作答）．6．(训练题38)用1，2，…，n，组成无重复数字的n位数，规定2不得与1或3相邻时共得2400个不同的n位数.则n=7．三、(训练题38)(本题满分20分)已知抛物线S：y=ax2+bx+c(a≠0)与二次曲线ax2+y2+bx+ay+c+a=0的4个不同的交点，由草图3、4可以看出，下面三个结论是成立的，请给出证明．（1）两曲线的4个交点中，至少有两个交点位于x轴的下方；（2）抛物线S必与x轴有两个不同的交点，记为（x1，0），（x2，0），x1≠x2；（3）两曲线的4个交点中，必存在一点（x0，y0），使(x0－x1)(x0－x2)＜0.注：对a、b、c的不同取值会有无数个图形，此处仅就a＜b，0＜a＜1各给出一个示意图，同时也就限制“由图看出”的解答.四、(训练题38)(本题满分20分)如图，点O表示太阳，△ABC表示一个三角形遮阳栅，点A、B是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳光线OCD把遮阳栅投射到地面得出遮影△ABD.已知光线OCD与地面成锐角θ．（1）遮阳栅与地面成多少度角时，才能使遮影△ABD面积yBOD1ECS2S1S3xOABDCyxOyxO-1-1图3图4最大？（2）当AC=3，BC=4，AB=5，θ=30°时，求出遮影△ABD的最大面积.五、(训练题38)(本题满分20分)由草图可见，方程516log(1)logxx有且仅有一个解.请证明这个结论.第二试一、(训练题38)(本题满分50分)已知直角梯形ABCD的直角腰AB存在一点E，使△CDE为正三角形，又44AECD.求AEAB的值．二、(训练题38)(本题满分50分)圆周上有n个点（n≥2），用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点.现将由此形成的互不重叠的圆内区域的个数记为an．（1）直接画图求出a2，a3，a4，a5，a6；（2）确定an的表达式.三、(训练题38)(本题满分50分)求证：数列13cos(arccos)(1,2,)3nnann的每项都是整数，但都不是3的倍数．yxABCDE