数学奥林匹克高中训练题(27)及答案

数学奥林匹克高中训练题（27）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()fx是R上的减函数，且()fx图像经过点(0,3)A和点(3,1)B，则不等式(1)12fx的解集为(D)．(A)(,3)(B)(,2)(C)(0,3)(D)(1,2)2．(训练题57)若函数2()sin2(2)cos2fxaxax的图像关于直线8x对称，则a的值等于(C)．(A)2或2(B)1或1(C)1或2(D)1或23．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3xyA为短轴的一个端点，,MN为椭圆上相异两点，若总存在以MN为底边的等腰AMN，则直线MN的斜率k的取值范围是(C)．(A)(1,0](B)[0,1](C)(1,1)(D)[1,1]4．(训练题57)()fx是定义在R上的函数，且对任意的x满足(1)()fxfx．已知当(2,3]x时，()fxx．那么，当(2,0]x时，()fx的表达式为(C)．(A)()4fxx(B)4,(2,1]()2,(1,0]xxfxxx(C)4,(2,1]()3,(1,0]xxfxxx(D)1,(2,1]()3,(1,0]xxfxxx5．(训练题57)已知1111ABCDABCD是边长为１的正方体，P为线段1AB上的动点，Q为底面ABCD上动点．则1PCPQ的最小值为(A)．(A)212(B)3(C)2(D)15226．(训练题57)已知在数列{}na中，11,naS为前n项的和，且满足2(1,2,)nnSnan．则na的表达式为(D)．(A)1(2)2nn(B)1(3)(1)nnn(C)1(4)2(1)nn(D)2(1)nn二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题57)在ABC中，ADBC于D，且13ADBC．则ACABABAC的最大值为13．2．(训练题57)已知函数1axyxa的反函数图像关于点(1,4)成中心对称．则实数a的值3．3．(训练题57)集合2211{|4(1)},{|}22AxaxxaxBxx，当AB时，a的取值范围为12a．4．(训练题57)已知线段//AD平面，且到平面的距离等于８，点B是平面内的一动点，且满足10AB．若21AD，则点D与B距离的最小值为17．5．(训练题57)已知多项式21xx整除多项式541axbx．则实数a3，b5．6．(训练题57)设[1][2][3][2002]S，其中[]n表示不超过n的最大整数。则[]S值等于242．三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC的三内角平分线分别为111,,AABBCC．若向量111,,AABBCC满足关系1110AABBCC，试证：ABC为正三角形．四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{},nnaS表示其前n项和．若满足关系231nnSann，求数列{}na的通项公式na的表达式．(122nnan)五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a，半短轴为b，短轴的一个端点为O，,PQ为椭圆上异于点O的任意两点，OPOQ．若点O在线段PQ上的身影为M，试求点M的轨迹．第二试一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在RtABC中，,90,oACBCCO为斜边AB的中点，CH为斜边AB上的高，延长CH到D，使得,CHDHF为中线CO上任AGEFHODCB意一点，过B作BEAF的延长线于E，连结DE交BC于G．求证：CFGF．二、(训练题57)(本题满分50分)设0x．求函数1()11[][][][]1xxfxxxxx的值域．其中[]x表示不超过x的最大整数．三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．